第一數學概括法 vs 第二數學概括法 vs 良序定理

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From : Mathematics for Computer Science

譯者：李秋豪

第二數學概括法（Strong induction）看起來確實要比第一數學概括法（ordinary induction）健壯一些——它能夠假設更多的條件，或者說，第一數學概括法像是第二數學概括法的特例。因此你可能以爲沒有使用第一數學概括法的必要。

可是，第二數學概括法並不比第一數學概括法「強壯」，一個簡單的小程序就可以將使用第一數學概括法的證實轉換爲第二數學概括法的證實——僅僅在概括假設的時候使用一個更廣泛的量詞就能夠了。固然，將它們區別開仍是有利於證實的可讀性的。對於良序原理來講，一個用概括法證實的命題也能夠用良序原理證實，反過來也成立。事實上，第一第二數學概括法和良序原理反映的是相同的數學原理！（譯者注：在前面幾篇博文中所舉的例子均可以換成第1、第二概括法或者良序原理來證實）

那麼，爲何還要將這三種本質相同的方法分開列出呢？緣由是有時候概括法會顯得更清楚，由於它不須要利用矛盾來證實命題。一樣的，因爲概括法使用了遞歸，它的證實輸入數據規模會更小。關於該選擇使用哪一個方法並無一個準則，有的時候惟一的方法就是分別寫出證實而後作對比。另外，證實的時候都要記得在開頭列出來證實所使用的方法。