數據結構之二叉堆、堆排序

前言

上一篇寫了數據結構之二叉搜索樹、AVL自平衡樹，此次來寫堆。

堆的創造者

好久之前排序算法的時間複雜度一直是O(n^2)， 當時學術界充斥着「排序算法不可能突破O(n^2)」的聲音，直到1959年，由D.L.Shell提出了一種排序算法，希爾排序（Shell Sort），纔打破了這種不可能的聲音，把排序算法的時間複雜度提高到了O(n^3/2)！

當科學家們知道這種"不可能"被突破以後，又相繼有了更快的排序算法，「不可能超越O（n^2）」完全成爲了歷史。

在1964年，沒錯，是55年前！堆排序這種奇思妙想的，十分精彩的，排序算法誕生了！時間複雜度爲O(nlogn)，遠甩O（n^2）

由Robert W. Floyd（羅伯特·弗洛伊德）和J.W.J. Williams（威廉姆斯）共同發明了著名的堆排序，同時也發明了「堆」這樣的數據結構， Floyd在1978年得到了圖靈獎！真是個狼人！！（比很人還要多一點）

有時候瞭解下歷史，也是十分有趣的！雖然你可能會以爲並沒什麼卵用~

堆是什麼？

以前第一次聽到堆這個詞的時候，感受像是一堆什麼東西，徹底跟樹連想不到一塊兒，後來才知道，原來堆也是一顆二叉樹，並且是徹底二叉樹

堆的性質：

堆中某個節點的值老是不大於或不小於其父節點的值；
堆老是一棵徹底二叉樹。

如何用數組表示堆？

咱們能夠把堆，存放在一個數組中，根據索引來獲取節點，那麼如何經過索引表示父子關係呢？
堆是一顆徹底二叉樹，因此知足以下條件

假如當前的節點索引爲：k
父節點索引：(k-1) / 2
左孩子節點：2 * k + 1
右孩子節點：2 * k + 2

根據這個規律，咱們就能夠用索引來計算出父子節點的位置了。這樣就能把堆存放在數組中使用，會更加節省內存。

堆排序算法

堆排序算法就是造成一個堆後，假如是大頂堆，堆頂確定是最大的元素，那咱們每次都把堆頂的最大元素拿走，而後把堆末尾的元素放到堆頂來，可是這個元素不必定是當前最大的，因此還要對這個元素在堆裏進行比較，把最大的元素放到堆頂，再取出來。如此咱們每次取出的都是剩餘元素中最大的元素，就能獲得一組從大到小有序的元素。下面咱們來用大頂堆對一組數據進行堆排序計算。

數據爲：[50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20]

算法分爲兩個部分

1.如何將一組無序的數據構建出一個初始的大頂堆？
2.在拿走堆頂元素以後，如何計算出新的堆頂元素？

首先咱們要實現一個操做：若是一個節點的子節點比它更大，就交換位置，若是子節點還有子節點，就要繼續比下去，直到末尾。這個操做咱們稱爲：HeapOne

public void HeapOne(List<int> list, int len, int s)
    {
        int temp, j;
        
        temp = list[s];//先把指定要下沉節點的值取出來
        
        for (j = (2 * s)+1; j < len; j = (j*2)+1)
        {
            if (j < (len - 1) && list[j] < list[j + 1])//看看左右兩個子節點誰更大，就取誰
                ++j;
            
            if (temp >= list[j])//子節點比父節點小，就無論
                break;

            list[s] = list[j];//先把子節點的值給父節點
            s = j;//繼續從這個子節點往下比較下去
        }
        list[s] = temp;
    }

實現這個操做以後，就能夠開始咱們的第一個部分了，造成初始大頂堆。

從最後一個非葉子節點開始，對該節點進行HeapOne，一直從下往上，直到把全部的父節點都HeapOne了一遍，一個初始的大頂堆就造成了。

public void HeapSort(List<int> list)
    {
        int i;
        for (i = (list.Count - 1) / 2; i >= 0; i--)//第一部分，造成一個初始大頂堆
        {
            HeapOne(list, list.Count, i);
        }

        for (i = list.Count -1; i > 0; i--)//每拿走一個元素，都從新計算新堆
        {
            int temp = list[0];
            list[0] = list[i];
            list[i] = temp;
            
            HeapOne(list, i, 0);
        }
    }

算法第二部分

1. 咱們把堆頂的元素取出，放到一個臨時變量裏存着。
2. 而後把堆的最末尾元素取出來，放到堆頂。
3. 把堆的長度-1（由於已經取出以前的堆頂元素了）
4. 接着對剛剛這個從末尾放到堆頂的元素，進行HeapOne操做，讓他跟子節點比較，把最大的元素交換到堆頂來，再次造成最大堆。

一直重複這個操做後，直到最後一個堆頂被取出，放到數組末尾，堆的長度也就爲0了，咱們的數組也就造成了一組從大到小的數列。

如此，堆排序就完成了

總結

堆排序性能比較穩定，時間複雜度包含初始堆+排序時重建堆爲：O(nlogn)。
在遊戲開發中也會常用到堆

1. 好比Top K問題，從n個數據中，找出最大的前100個。
2. 用堆來實現優先加載隊列。
3. A星尋路算法中，能夠用最小堆來對尋路的開放列表維護順序，把f值最小的放在堆頂，每次取出堆頂後，再HeapOne一次就行了。比每次都對開放列表進行排序的性能高的多。

參考

百度百科-堆排序 《大話數據結構》-程傑