量子邏輯門

量子態的演化

在前面量子糾纏1中咱們已經提到了量子比特的線性代數表示，即，對於一個量子態 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\)咱們能夠化簡成$ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 。

量子態不是一成不變的，就像高電平會變成低電平，一個量子態也能演化成另外一個量子態，量子態的演化就是在Hilbert空間中的旋轉,如圖(a)所示。

經過一個U操做，咱們就將 \(| 0\rangle\) 變成了 \(U| 0\rangle\) ， \(| 1\rangle\) 變成了 \(U| 1\rangle\) ， \(| u\rangle\) 變成了 \(U| u\rangle\) ，如圖(b)所示。須要注意的是，我添加一個U操做，沒有改變 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| u\rangle\) 之間的關係， \(U| 0\rangle\) 、 \(U| 1\rangle\) 和 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 同樣，他們之間的關係依舊是垂直。

$ (| 0\rangle, | 1\rangle)=0$

$ (U| 0\rangle, U| 1\rangle)=0$

\((,)\) 是內積的意思， $ (| 0\rangle, | 1\rangle)= \left[ \begin{array}{}{1}&{0}\end{array}\right]\left[ \begin{array}{}{0} \ {1}\end{array}\right]$ ，一樣，也能夠簡寫成 \(\langle0| 1\rangle\) ， \(\langle0|\) 代表是 \(| 0\rangle\) 的共軛轉置。

對於這種兩個向量之間夾角不會變的旋轉稱爲剛性旋轉 rigid rotation。

而這種U操做被成爲酉操做，也是unitary transformation

Unitary Transformation

量子比特咱們用向量來表示，由於咱們量子比特的演化是線性的，因此在量子比特上的操做，能夠用矩陣來表示。

單量子比特是 \(2*1\) 的向量，則單量子比特門是 \(2*2\) 的矩陣。

\(| 0\rangle\) 變到 \(U| 0\rangle\) 在線性代數上就是 $ \left[ \begin{array}{}{1} \ {0}\end{array}\right]$ 變到 $ \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} \ {\frac{1}{\sqrt2}}\end{array}\right]$

\[ \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}\end{array}\right]=U\left[ \begin{array}{}{1} \\ {0}\end{array}\right]\]

\[U= \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} &{-\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}&{\frac{1}{\sqrt2}} \end{array}\right]\]

對於旋轉了 \(\theta\) 角度的操做，均可以用 \(U_{\theta}= \left[ \begin{array}{}{cos\theta} &{-sin\theta} \\ {sin\theta}&{cos\theta} \end{array}\right]\) 表達。

若是要作相反操做，就是將順時針轉 \(\theta\) 角度， \(U_{-\theta}= \left[ \begin{array}{}{cos\theta} &{sin\theta} \\ {-sin\theta}&{cos\theta} \end{array}\right]\)

很巧的是， \(U_\theta^\dagger=U_{-\theta}\) ， \(\dagger\) 是共軛轉置的意思。

\(U_\theta U_{\theta}^\dagger=I\) ，意思也很好理解，由於順時針 \(\theta\) 又 \(-\theta\) ，正好就回到原位。

事實上全部的量子操做都是可逆的，全部的量子操做都酉操做。

那麼什麼是酉操做呢？

U is unitary iff \(U^\dagger U =I\)

對於酉矩陣的更多特徵會在線性代數的章節提到，這裏主要提一個，酉矩陣是保內積的。

保內積又是什麼意思？

兩個向量在乘以相同的U後，他們的內積不變。

\[(U| a\rangle, U| b\rangle)=\langle a|U^\dagger U|b\rangle=\langle a|I|b\rangle=\langle a|b\rangle\]

單量子邏輯門

量子邏輯門和經典邏輯門一個巨大的不一樣是——量子邏輯門可逆。

通過了經典的邏輯門與門或者非門，咱們的信息會丟失，告訴你與門後的輸出結果是0，你知道與門前的輸入嗎？（0，0）、（0，1）、（1，0）都有可能。

而對於量子邏輯門來講，我通過U變換後的結果是 \(|a\rangle\) ，那麼 \(U^\dagger |a\rangle\) 就是變換前的輸入了。

舉例幾個經常使用的單量子邏輯門：

\(X=\left[ \begin{array}{}{0} &{1} \\ {1}&{0} \end{array}\right]\)，X門又稱爲比特翻轉，他能夠把 \(|0\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) ，把 \(|1\rangle\) 變成 \(|0\rangle\) 。

\(Y=\left[ \begin{array}{}{0} &{-i} \\ {i}&{0} \end{array}\right]\)

\(Z=\left[ \begin{array}{}{1} &{0} \\ {0}&{-1} \end{array}\right]\)，Z門又稱爲相位翻轉門，能夠把 \(|+\rangle\) 變成 \(|-\rangle\) ， \(-|1\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) 。

以及一個特別有用的門，Hadamard門：
\(H=\left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} &{\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}&{-\frac{1}{\sqrt2}} \end{array}\right]\) ，他的做用是把 \(|1\rangle\) 變成 \(|-\rangle\) ， \(|0\rangle\) 變成 \(|+\rangle\) 。

兩量子邏輯門

對於兩量子比特來講，他們的狀態是 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) ，須要用 \(4*1\) 的向量來描述，也就是 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_{00}} \ {\alpha_{01}} \ {\alpha_{10}} \ {\alpha_{11}} \end{array} \right]$ ，對應操做兩比特的邏輯門，也就是 \(4*4\) 的矩陣了。

兩比特的量子門有各自管各自的，如圖(c)，也有一個控制另外一個的，如圖(d)。

對於圖c來講， \(U=u_1\otimes u_2\) ，若是 \(u_1=\left[ \begin{array}{}{a} &{c} \\ {b}&{d} \end{array}\right],u_2=\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]\) ，那麼， \(U=\left[ \begin{array}{}{a\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} &{c\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} \\ {b\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]}&{d\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} \end{array}\right]\) ，這也就是張量積的算法。

對於圖d來講，這是一個受控非門CNOT門，他的意思是，若是a是0，那麼b保持不變，若是a是1，那麼b就是變成相反的，好比 \(|0\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) ，或者把 \(|1\rangle\) 變成 \(|0\rangle\) 。

即 \(|00\rangle to|00\rangle,|01\rangle to|01\rangle,|10\rangle to|11\rangle,|11\rangle to|10\rangle\) 。

用矩陣來描述就是 \(\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right]\) 。

至此，主要的量子邏輯門就介紹完畢，若是想要動手實踐的話，有阿里的量子計算雲平臺、華爲的hiQ、IMB的IBM Q

參考資料

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 5