知乎上圖解小波變換

從傅里葉變換到小波變換，並非一個徹底抽象的東西，能夠講得很形象。小波變換有着明確的物理意義，若是咱們從它的提出時所面對的問題看起，能夠整理出很是清晰的思路。

下面我就按照傅里葉-->短時傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下爲何會出現小波這個東西、小波到底是怎樣的思路。（反正題主要求的是通俗形象，沒說簡短，但願不會太長不看。。）

1、傅里葉變換
關於傅里葉變換的基本概念在此我就再也不贅述了，默認你們如今正處在理解了傅里葉但還沒理解小波的道路上。（在第三節小波變換的地方我會再形象地講一下傅里葉變換）

下面咱們主要將傅里葉變換的不足。即咱們知道傅里葉變化能夠分析信號的頻譜，那麼爲何還要提出小波變換？答案就是方沁園所說的，「對非平穩過程，傅里葉變換有侷限性」。看以下一個簡單的信號：<img src="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_b.jpg" data-rawwidth="597" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="597" data-original="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_r.jpg">作完FFT（快速傅里葉變換）後，能夠在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。作完FFT（快速傅里葉變換）後，能夠在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。

一切沒有問題。可是，若是是頻率隨着時間變化的非平穩信號呢？
<img src="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_b.jpg" data-rawwidth="690" data-rawheight="612" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="690" data-original="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_r.jpg">
如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨着時間改變的非平穩信號，它們一樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。
作FFT後，咱們發現這三個時域上有巨大差別的信號，頻譜（幅值譜）卻很是一致。尤爲是下邊兩個非平穩信號，咱們從頻譜上沒法區分它們，由於它們包含的四個頻率的信號的成分確實是同樣的，只是出現的前後順序不一樣。

可見，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號整體上包含哪些頻率的成分，可是對各成分出現的時刻並沒有所知。所以時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖同樣。

然而平穩信號大可能是人爲製造出來的，天然界的大量信號幾乎都是非平穩的，因此在好比生物醫學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。
<img src="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_b.jpg" data-rawwidth="429" data-rawheight="287" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="429" data-original="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_r.jpg">上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，咱們還想知道上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，咱們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的狀況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。


2、短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）
一個簡單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同窗的描述了，「把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每一個小過程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪一個時間點上出現了什麼頻率了。」這就是短時傅里葉變換。
看圖：
<img src="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_b.jpg" data-rawwidth="844" data-rawheight="449" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="844" data-original="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_r.jpg">時域上分紅一段一段作FFT，不就知道頻率成分隨着時間的變化狀況了嗎！時域上分紅一段一段作FFT，不就知道頻率成分隨着時間的變化狀況了嗎！
用這樣的方法，能夠獲得一個信號的時頻圖了：
<img src="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_b.jpg" data-rawwidth="649" data-rawheight="492" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="649" data-original="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_r.jpg"> ——此圖像來源於「THE WAVELET TUTORIAL」——此圖像來源於「THE WAVELET TUTORIAL」
圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峯是對稱的，因此你們只用看一排就好了。

是否是棒棒的？時頻分析結果到手。可是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一個問題，咱們應該用多寬的窗函數？
窗太寬太窄都有問題：<img src="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_b.jpg" data-rawwidth="627" data-rawheight="312" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="627" data-original="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_b.jpg" data-rawwidth="609" data-rawheight="350" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="609" data-original="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_r.jpg">窗太窄，窗內的信號過短，會致使頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。窗太窄，窗內的信號過短，會致使頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。
（這裏插一句，這個道理能夠用海森堡不肯定性原理來解釋。相似於咱們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，咱們也不能同時獲取信號絕對精準的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。咱們不知道在某個瞬間哪一個頻率份量存在，咱們知道的只能是在一個時間段內某個頻帶的份量存在。 因此絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）

看看實例效果吧：<img src="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpg" data-rawwidth="608" data-rawheight="292" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="608" data-original="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_b.jpg" data-rawwidth="604" data-rawheight="295" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="604" data-original="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_r.jpg"><img src="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_b.jpg" data-rawwidth="614" data-rawheight="281" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="614" data-original="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_r.jpg"> ——此圖像來源於「THE WAVELET TUTORIAL」——此圖像來源於「THE WAVELET TUTORIAL」
上圖對同一個信號（4個頻率成分）採用不一樣寬度的窗作STFT，結果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峯基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。可是頻率軸上，窄窗明顯不以下邊兩個寬窗精確。

因此窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對於時變的非穩態信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，因此STFT仍是沒法知足非穩態信號變化的頻率的需求。


3、小波變換

那麼你可能會想到，讓窗口大小變起來，多作幾回STFT不就能夠了嗎？！沒錯，小波變換就有着這樣的思路。
但事實上小波並非這麼作的（關於這一點，方沁園同窗的表述「小波變換就是根據算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換」就不許確了。小波變換並無採用窗的思想，更沒有作傅里葉變換。）
至於爲何不採用可變窗的STFT呢，我認爲是由於這樣作冗餘會太嚴重，STFT作不到正交化，這也是它的一大缺陷。

因而小波變換的出發點和STFT仍是不一樣的。STFT是給信號加窗，分段作FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不只可以獲取頻率，還能夠定位到時間了~