DDA, Bresenham line's algorithm and Voxel Traversal used in the Grid-Accelerator in PBRT

 

 

- DDA(Digital Differential Analyzer, 數值微分法) - 

 

計算機圖形學中，常常會遇到一些計算機中」經典「的問題。例如，如何利用計算機」離散「的特質，模擬現實中」連續「的概念？關於這個問題的一個具體應用，就是如何利用計算機」畫直線「的問題。咱們知道在純粹抽象的數學中，一條直線用y=mx+b就能夠表達（其中m是斜率）；但若是要畫在計算機屏幕上，就沒那麼容易：由於計算機屏幕是由許多分散的像素格子組成的，你須要決定在何時換行或者換列。這種模擬的本質，仍是」插值「問題。直線是最簡單的狀況，往復雜點說，就會有考慮如何插值三角形甚至多邊形的狀況。不過它們都是」直線「插值的複雜應用，下面就很少說了。

 

DDA是一種處理此種問題的經典算法。算法思想倒也不難：

 

【 準備階段】

 

1） 給定一條線段的起點(x1, y1)和終點(x2, y2)，分別計算在兩軸上的差值 △y = y2 - y1 和 △x = x1 - x2。

 

2） 比較△y和△x兩者誰比較大，大的那一個就做爲遍歷的總步數。steps = max(△x, △y)。

 

3） 分別計算在x和y方向上單步的步距。 dx = △x/steps，dy = △y/steps。注意此時dx和dy必然一個等於1，一個介於0-1之間（浮點數）

 

【遍歷階段】

4）△x和△y誰大，誰就做爲插值的主序方向。意味着每次插值都是朝這個方向行進一步。好比△x大，那麼假設當前在格子(xi, yi)處，決定下一個格子時，因爲在x方向是主序方向，因此朝x方向行進一步獲得xi+1。剩下的就是決定y方向上究竟是yi呢仍是yi+1呢。

 

5）究竟是yi仍是yi+1，要看根據y = m(xi+1) + b計算出真實的y等於多少。這時的y計算出來的是浮點數，根據float2Int的一些規則，轉換成對應的整形而後找到對應的格子。float2Int的轉換規則要看具體狀況，四捨五入仍是直接截取，看效果吧。

 

6）重複4)-5)步

 

DDA算法直接了當，簡單易懂。不過它的計算過程當中涉及到許多浮點數運算，這在當今的CPU設計架構中運算成本較大，也可視爲其運算複雜度較高。下面的Bresenham line's algorithm就是對其的一種改進。

 

 

- Bresenham line's algorithm - 

Bresenham line's algorithm 是DDA的一種改進算法。它與DDA相比有質量和效率的兩點改進：

1）質量方面的改進。 好比仍是以△x爲主序方向行進時，決定下一個點是落在yi仍是yi+1，不只僅考慮真實計算出來的y等於多少，還要考慮這個y值是離yi更近仍是離yi+1更近。誰近就畫在誰的格子裏。這一點顯然比DDA中思考問題的方式更加make sense。

2）效率方面的改進。根據上一點的判斷準則，再加上一系列的遞歸推導，最後簡化到只存在整形的加減運算以及比較操做。這在當今CPU的架構中運算成本相對來講很是便宜，所以效率更高。具體的推導細節，參見這篇 DERIVATION OF THE BRESENHAM’S LINE ALGORITHM

 

  

- Voxel Traversal used in the Grid-Accelerator in PBRT -

我正在看pbrt的第4章。這章主要講了有關場景管理組織的一些技術，目的是爲了提升射線相交測試（ray intersection tests）的效率。主要的手段有三種，Grid-Based, BVH 和 KD-Tree。目前正看到第一種，Grid-Based，基於網格的場景管理技術 。

基於網格的場景管理方法，至關於把整個場景看做是一個大的bouding box，而後對這個box所在的空間分別在三個維度上劃分紅一格一格的。而後將場景中的primitives與各個發生overlap的格子」關聯「起來。接着，從射線的方位出發，遍歷(traverse)這個網格系統，對於與射線發生相交的格子，再在裏面遍歷與之關聯的全部primitives，對遍歷到的每一個primitive都作一次相交測試。固然這當中的細節還有不少，就不贅述了。總之這種算法的思想能夠描述爲」分而治之「。經過每一個格子的空間管理與之有關的primitives，測試某個格子的時候就沒必要考慮其餘格子裏的primitives，從而能夠有效降解其遍歷場景的複雜度。

這裏，我想強調下射線是如何遍歷這個網格系統的。其方法也是DDA算法的一種改進，書中說很是像Bresenham line's algorithm。但我仔細觀察了一下，和Bresenham的算法仍是不同的。這裏的關鍵是利用的是射線的參數(parametric)方程，那個參數t（做爲沿着射線方向偏離起點的距離）是很重要的。當決定下一點到底是朝x方向，y方向仍是z方向步進時，要看這條射線」最早打到哪一個方向的下一格子的邊界「。哪一個方向的邊界先被打到，就朝哪一個方向步進一次。這樣一來，這種算法就不是依靠決定」哪一個方向是主序「的思路進行的了，每次判斷步進時三個方向皆有可能步進。這點與經典的DDA（包括Bresenham）算法都很是不一樣。

我知道我沒說清楚，剛纔在網上粗略找了找，發現這篇應該纔是pbrt中使用的算法：A Fast Voxel Traversal Algorithm for Ray Tracing。（我沒細看，大致以爲差不了）。歡迎指正校對勘誤拍磚頭，謝謝。