ACM數論之旅3---最大公約數gcd和最小公倍數lcm（苦海無邊，懸崖勒馬(￣∀￣)）

gcd(a, b)，就是求a和b的最大公約數

lcm(a, b)，就是求a和b的最小公倍數

而後有個公式

a*b = gcd * lcm     ( gcd就是gcd(a, b)， ( •̀∀•́ ) 簡寫你懂嗎)

解釋（不想看就跳過）{

　　首先，求一個gcd，而後。。。

　　a / gcd 和 b / gcd 這兩個數互質了，也就是 gcd(   a / gcd ，b / gcd  )  =  1，而後。。。

　　lcm = gcd *  (a / gcd) * (b / gcd)

　　lcm = (a * b) / gcd

　　因此。。a*b = gcd * lcm

}

因此要求lcm，先求gcd

辣麼，問題來了，gcd怎麼求

展轉相除法

while循環

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     LL t;
3     while(b){
4         t = b;
5         b = a % b;
6         a = t;
7     }
8     return a;
9 }

 

還有一個遞歸寫法

1 LL gcd(LL a, LL b){
2     if(b == 0) return a;
3     else return gcd(b, a%b);
4 }
5 
6 LL gcd(LL a, LL b){
7     return b ? gcd(b, a%b) : a;
8 }
9 //兩種均可以

 

 

辣麼，lcm = a * b / gcd

(注意，這樣寫法有可能會錯，由於a * b可能由於太大  超出int  或者 超出 longlong)

因此推薦寫成 ： lcm = a / gcd * b

而後幾個公式本身證實一下

gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)

lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)

 

上次作題碰到這個公式

lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b)

S = 9，a = 4，b = 6，小數不會lcm，只好保留分數形式去通分約分。

當我看到右邊那個公式。。。。

(╯°Д°)╯┻━┻

這TM我怎麼想的到，給我證實卻是會證。 T_T