數據結構之二叉樹（BinaryTree）

時間  2019-11-15
標籤 數據 結構 二叉樹 binarytree 欄目 應用數學 简体版
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導讀

　　二叉樹是一種很常見的數據結構，但要注意的是，二叉樹並非樹的特殊狀況，二叉樹與樹是兩種不同的數據結構。java

目錄

　 　一、 二叉樹的定義算法

　　2、二叉樹爲什麼不是特殊的樹數組

　　3、二叉樹的五種基本形態緩存

　　4、二叉樹相關術語數據結構

　　5、二叉樹的主要性質（6個）app

　　6、二叉樹的存儲結構（2種）函數

　　7、二叉樹的遍歷算法（4種）測試

　　8、二叉樹的基本應用：二叉排序樹、平衡二叉樹、赫夫曼樹及赫夫曼編碼this

1、二叉樹的定義

　　若是你知道樹的定義（有限個結點組成的具備層次關係的集合），那麼就很好理解二叉樹了。定義：二叉樹是n(n≥0)個結點的有限集，二叉樹是每一個結點最多有兩個子樹的樹結構，它由一個根結點及左子樹和右子樹組成。（這裏的左子樹和右子樹也是二叉樹）。編碼

　　值得注意的是，二叉樹和「度至多爲2的有序樹」幾乎同樣，但，二叉樹不是樹的特殊情形。具體分析以下

2、二叉樹爲什麼不是特殊的樹

　　一、二叉樹與無序樹不一樣

　　二叉樹的子樹有左右之分，不能顛倒。無序樹的子樹無左右之分。

　　二、二叉樹與有序樹也不一樣（關鍵）

　　當有序樹有兩個子樹時，確實能夠看作一顆二叉樹，但當只有一個子樹時，就沒有了左右之分，如圖所示：

　　

3、二叉樹的五種基本狀態

　　

4、二叉樹相關術語

　　滿二叉樹：全部葉子結點所有集中在最後一層，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。（注意：國內的定義是每一層的結點都達到最大值時纔算是滿二叉樹；而國際定義爲，不存在度爲1的結點，即結點的度要麼爲2要麼爲0，這樣的二叉樹就稱爲滿二叉樹。這兩種概念徹底不一樣，既然在國內，咱們就默認第一種定義就好）。

　　徹底二叉樹：若是將一顆深度爲K的二叉樹按從上到下、從左到右的順序進行編號，若是各結點的編號與深度爲K的滿二叉樹相同位置的編號徹底對應，那麼這就是一顆徹底二叉樹。如圖所示：

　　

5、二叉樹的主要性質

　　二叉樹的性質是基於它的結構而得來的，這些性質沒必要死記，使用到再查詢或者本身根據二叉樹結構進行推理便可。

　　性質1：非空二叉樹的葉子結點數等於雙分支結點數加1。

　　證實：設二叉樹的葉子結點數爲X，單分支結點數爲Y，雙分支結點數爲Z。則總結點數=X+Y+Z，總分支數=Y+2Z。

　　　　　因爲二叉樹除了根結點外其餘結點都有惟一的分支指向它，因此總分支數=總結點數-1.。

　　　　　結合三個方程：總分支數=總結點數-1，即Y+2Z = X+Y+Z-1。化簡獲得X = Z + 1。即葉子結點數等於雙分支結點數加1。

　　性質2：在二叉樹的第i層上最多有2 i-1 個結點 （i>=1）。

　　證實：二叉樹結點最多的狀況即爲滿二叉樹的狀況，因爲是滿二叉樹，每一個結點都有兩個孩子，因此下一層是上一層的2倍，構成了公比爲2的等比數列，而第一層只有根結點，因此首項是1。因此二叉樹的第i層上最多有2 i-1 個結點。

　　性質3：高度（或深度）爲K的二叉樹最多有2k - 1個結點(K>=1）。

　　證實：本性質其實就是性質2中描述的等比數列的前項和的問題。

　　性質4：若對含 n 個結點的徹底二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對徹底二叉樹中任意一個編號爲 i 的結點：

　　(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 不然，編號爲 [i/2] 的結點爲其雙親結點;  

　　(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子，  不然，編號爲 2i 的結點爲其左孩子結點；

　　(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點，  不然，編號爲2i+1 的結點爲其右孩子結點。

　　　　　　　　　　

　　性質5：具備n個結點的徹底二叉樹的深度爲[log2n]+1或者[log2(n+1)]，其中[log2n]+1是向下取整,[log2(n+1)]是向上取整。

　   性質6：Catalan函數性質：給定n個結點，能構成H(n)種結構不一樣的樹。H(n) = c(2n,n) / (n+1)。

6、二叉樹的存儲結構

　　爲了方便說明，咱們使用下圖樹1做爲案例樹。

　　

一、順序存儲

　　順序存儲是使用一個數組來存儲二叉樹，咱們通常將二叉樹按照性質4的作法，即從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，而後編號與數組下標對應，按照編號依次將對應的結點信息存儲數組中便可。

　　第一步：給二叉樹編號：

　　

 　　注意，編號5的位置是沒有結點的，可是咱們這樣編號的目的是爲了更好的應用性質4，而性質4描述的是徹底二叉樹，因此咱們編號時要將普通二叉樹看作徹底二叉樹來進行編號，因此即便編號5即便沒有結點也須要進行編號。

　　第二步：按編號存儲到數組BTree[]中

　

　　第三步：按照性質4的規律取元素

　　性質4主要是描述結點的編號和雙親編號或孩子編號之間的數學關係，即咱們知道了一個結點的編號，那麼它的雙親編號和孩子孩子咱們都能計算獲得並從數組中取出來。

　　例如，結合性質4咱們來計算編號3的雙親和孩子：選取出編號3即BTree[3]，就能夠知道編號3的元素爲C；雙親結點編號 = 3/2 = 1 ≥ 1，因此C結點的雙親爲BTree[1]即A；左孩子編號 = 3*2 = 6 ≤ 7，因此C的右孩子爲BTree[6] = E；右孩子編號 = 3*2+1 = 7 ≤ 7，因此C的右孩子爲Btree[7] = F。

　　結論：像編號5這種狀況會佔用存儲空間，因此這種存儲方式最適合用於存儲徹底二叉樹，而存儲通常的二叉樹則會浪費大量空間。

二、鏈式存儲

　　根據二叉樹的結構，咱們使用下面的鏈式結點來存儲一個二叉樹結點。

　　

　　因此樹1對應的鏈式存儲結構爲：

　　

7、二叉樹的遍歷算法

　　根據二叉樹的結構特色：通常二叉樹由左子樹、根結點和右子樹組成。這三個元素：左子樹（L）、根結點（N）、右子樹（R）有6種中排列組合，即NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。而從左往右和從右往左這種遍歷順序是對稱結構的，採用一種順序便可，因此二叉樹按照三個元素的排列順序遍歷就造成了：NLR（先序遍歷）、LNR（中序遍歷）和LRN（後序遍歷）。

　　ps:二叉樹的這三種遍歷要用遞歸的思想去理解。

　　先序遍歷（NLR）：根左右

　　1）訪問根結點

　　2）先序遍歷左子樹

　　3）先序遍歷右子樹

　　中序遍歷（LNR）：左根右

　　1）中序遍歷左子樹

　　2）訪問根結點

　　3）中序遍歷右子樹

　　後序遍歷（LRN）：左右根

　　1）後序遍歷左子樹

　　2）後序遍歷右子樹

　　3）訪問根結點

　　java實現（遍歷樹1）：

 1 package test;
 2 
 3 import org.junit.Test;
 4 
 5 /**
 6  * 二叉樹的遍歷
 7  * @author Fzz
 8  * @date 2018年1月17日
 9  * @Description TODO:
10  */
11 public class BinaryTreeTraversal {
12     private StringBuffer sb = new StringBuffer();
13     //先序遍歷(數組)
14     public String first(Object[] o,int i){
15         //訪問根結點
16         sb.append(o[i]);
17         //遍歷左子樹
18         int left = i*2;
19         if(left<o.length&&o[left]!=null)
20             first(o,left);
21         //遍歷右子樹
22         int right = i*2+1;
23         if(right<o.length&&o[right]!=null)
24             first(o,right);
25         return sb.toString();
26     }
27     
28     //中序遍歷
29     public String mid(Object[] o,int i){
30         //遍歷左子樹
31         int left = i*2;
32         if(left<o.length&&o[left]!=null)
33             mid(o,left);
34         //訪問根結點
35         sb.append(o[i]);
36         //遍歷右子樹
37         int right = i*2+1;
38         if(right<o.length&&o[right]!=null)
39             mid(o,right);
40         return sb.toString();
41     }
42     
43     //後序遍歷
44     public String last(Object[] o,int i){
45         //遍歷左子樹
46         int left = i*2;
47         if(left<o.length&&o[left]!=null)
48             last(o,left);
49         //遍歷右子樹
50         int right = i*2+1;
51         if(right<o.length&&o[right]!=null)
52             last(o,right);
53         //訪問根結點
54         sb.append(o[i]);
55         return sb.toString();
56     }
57     
58     //將緩存區設爲空
59     public void setBufferNull(){
60         this.sb = this.sb.delete(0, sb.length());
61     }
62     
63     @Test
64     public void test(){
65         Character[] o = {null,'A','B','C','D',null,'E','F'};
66         //遍歷前先清空緩存區
67         this.setBufferNull();
68         String s = first(o,1);
69         System.out.println("先序遍歷結果："+s);
70         this.setBufferNull();
71         s = mid(o,1);
72         System.out.println("中序遍歷結果："+s);
73         this.setBufferNull();
74         s = last(o,1);
75         System.out.println("後序遍歷結果："+s);
76     }
77 }

　　測試結果：

　　

　　層次遍歷

　　層次遍歷比較簡單，即按照從上往下、從左往右一層一層遍歷便可。層次遍歷是現實，若是遍歷的是順序存儲（數組存儲）的二叉樹，因爲存儲的時候就是按照從上往下從左往右的順序存儲的，直接按順序取出便可；若是是鏈式存儲的二叉樹，須要使用一個循環隊列進行操做：先將根結點入隊，當前結點是隊頭結點，將其出隊並訪問，若是當前結點的左結點不爲空將左結點入隊，若是當前結點的右結點不爲空將其入隊。因此出隊順序也是從左到右依次出隊。

8、二叉樹的基本應用

一、二叉排序樹（Binary Sort Tree）

　　二叉排序樹，又稱二叉查找樹（Binary Search Tree），亦稱二叉搜索樹。

　　一、定義

　　二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具備下列性質的二叉樹：

　　（1）若左子樹不空，則左子樹上全部結點的值均小於或等於它的根結點的值；
　　（2）若右子樹不空，則右子樹上全部結點的值均大於或等於它的根結點的值；
　　（3）左、右子樹也分別爲二叉排序樹；
　　ps：根據二叉排序樹的定義，若是對二叉排序樹進行中序遍歷，那麼遍歷的結果就是一個遞增的序列。
　　二、查找關鍵字
　　二叉排序樹的主要功能就是查找。首先將須要查找的序列排序後存儲到二叉排序樹中，那麼要查找的關鍵字要麼在左子樹，要麼在根結點，要麼在右子樹，因此咱們首先將要查找的關鍵字與根結點作比較，相等則查找成功。小於根結點則遞歸查找左子樹，大於根結點則遞歸查找右子樹，直到出現相等狀況則查找成功，不然查找失敗。（該查找過程與折半查找相似）
　　三、插入關鍵字
　　插入操做主要是對查找不成功的排序二叉樹，即若是關鍵字查找不成功，那麼咱們就須要將查找不成功的關鍵字插入查找不成功的位置。因此咱們只須要將查找算法進行修改就能實現插入操做（ps：若二叉樹爲空，則首先單獨生成根結點）： 
 1 BiTree* InsertBST(BiTree *t,int key)
 2 {
 3     if (t == NULL)
 4     {
 5         t = new BiTree();
 6         t->lchild = t->rchild = NULL;
 7         t->data = key;
 8         return t;
 9     }
10  
11     if (key < t->data) 
12         t->lchild = InsertBST(t->lchild, key);
13     else
14         t->rchild = InsertBST(t->rchild, key);
15  
16     return t;
17 }
　　四、刪除關鍵字
　　在刪除關鍵字結點時，須要注意的是，在刪除後咱們須要保持二叉排序樹的特性。
　　在二叉排序樹刪去一個結點，分三種狀況討論：（設被刪除結點爲p，p的雙親結點爲f）
  1. 若p結點爲葉子結點，即PL(左子樹)和PR(右子樹)均爲空樹。因爲刪去葉子結點不破壞整棵樹的結構，則能夠 直接刪除此子結點。
  2. 若p結點只有左子樹PL或右子樹PR，此時只要令PL或PR直接成爲其雙親結點f的左子樹（當p是左子樹）或右子樹（當p是右子樹）便可，做此修改也不破壞二叉排序樹的特性。
  3. 若p結點的左子樹和右子樹均不空。這種狀況能夠轉換爲狀況1或2而後再按照1或2的方法來解決。有兩種轉換方法：
    其一是找到p結點的左子樹的最右邊的結點r（沿着p的左子樹的根結點的右指針一直走，其實就是找到左子樹的最大值），用r結點替換p結點，而後再刪除r結點便可。
    其二是找到p結點的右子樹的最左邊的結點r（沿着p的右子樹的根結點的左指針一直走，其實就是找到左子樹的最小值），用r結點替換p結點，而後再刪除r結點便可。
    java實現： 
private void deleteNode(BinarySortTree p)
{
    //TODOAuto-generatedmethodstub
    if(p!=null)
    {
        //若是結點有左子樹
        /*1。若p有左子樹，找到其左子樹的最右邊的葉子結點r，用該葉子結點r來替代p，把r的左孩子
        做爲r的父親的右孩子。
        2。若p沒有左子樹，直接用p的右孩子取代它。
        */
        if(p.lChild!=null)
        {
            BinarySortTree r=p.lChild;
            BinarySortTree prev=p.lChild;
                while(r.rChild!=null)
               {
                    prev=r;
                    r=r.rChild;
                }
                p.data=r.data;
            //若r不是p的左子樹,p的左子樹不變，r的左子樹做爲r的父結點的右孩子結點
            if(prev!=r)
            {
                prev.rChild=r.lChild;
             }
            else
            {
             //若r是p的左子樹，則p的左子樹指向r的左子樹
            p.lChild=r.lChild;
            }
        }
        else
        {
            p=p.rChild;
        }
    }
}

二、平衡二叉樹

　　平衡二叉樹又稱爲AVL樹，是一種特殊的二叉排序樹，即左右兩個子樹高度之差不超過1，而且左右兩個子樹都是平衡二叉樹的二叉排序樹稱爲平衡二叉樹。

　　爲何要構造平衡二叉樹呢？對於通常的二叉排序樹，其指望高度（即爲一棵平衡樹時）爲log2n，其各操做的時間複雜度（O(log2n)）同時也由此而決定。因爲AVL樹的左右子樹高度之差不超過1，其高度通常都良好地維持在O（log（n）），大大下降了操做的時間複雜度。

　　平衡二叉樹的實現算法：關鍵在於左右子樹的平衡。具體的算法有：紅黑樹、AVL算法、Treap、伸展樹、SBT來實現。有興趣的能夠自行搜索，這裏就再也不描述。

三、赫夫曼樹及赫夫曼編碼

　　赫夫曼樹又叫作最優二叉樹，特色是帶權路徑長度最短。

　　一、相關術語

　　路徑和路徑長度：在一棵樹中，從一個結點往下能夠達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱爲路徑。通路中分支的數目稱爲路徑長度。
　　結點的權及帶權路徑長度：若將樹中結點賦給一個有着某種含義的數值，則這個數值稱爲該結點的權。結點的帶權路徑長度爲：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。
　　樹的帶權路徑長度：樹的帶權路徑長度規定爲全部葉子結點的帶權路徑長度之和，記爲WPL。
　　以下圖有4個葉子結點的二叉樹：
　　
　　 則這棵樹的WPL = 2*7+2*5+3*2+2*4 = 38。
　　二、赫夫曼樹的構造
　　假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設爲 w一、w二、…、wn，則哈夫曼樹的構造規則爲：
　　(1) 將w一、w二、…，wn當作是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結點)；
　　(2) 在森林中選出兩個根結點的權值最小的樹合併，做爲一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值爲其左、右子樹根結點權值之和；
　　(3)從森林中刪除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林；
　　(4)重複(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵樹爲止，該樹即爲所求得的哈夫曼樹。
　　以上面的二叉樹爲例：首先有4個葉子結點a、b、c、d，權值分別爲七、五、二、4。則：
　　 普構造獲得的赫夫曼樹的帶權路徑長度是最小的，WPL = 1*7+2*5+3*2+4*4 = 35。
　　三、赫夫曼樹的特色
　　1）權值越大的結點離根結點越近。
　　2）樹中沒有度爲1的結點。這類樹又稱爲正則（嚴格）二叉樹。
　　四、赫夫曼樹的應用：赫夫曼編碼
　　赫夫曼編碼是一種編碼方式。例如咱們須要發送右A、B、C、D這4個字符組成的一些文字，若是分別用00,01,10,11來表明要傳送的A、B、C、D。則須要發送"ADA"就編碼爲：001100。
　　咱們但願編碼的長度可以越短越好，上面的編碼方式長度顯然是與字符個數成正比的，不能知足需求，因此赫夫曼想到了設置不一樣的編碼長度來表達不一樣字符，那麼讓出現機率越高的字符設置編碼長度越短便可。假設A、B、C、D出現的機率分別爲0.四、0.三、0.二、0.1。那麼A、B、C、D的編碼就能夠分別用0、00、0一、1來表示。那麼ADA的編碼就是「010」，但"CA"的編碼也是「010」，因此咱們在設置不一樣長度的編碼時須要使用前綴編碼（即任一編碼都不是其餘編碼的前綴，這樣就不會產生歧義了）。因此A、B、C、D的編碼修改成：0、十、1十、111便可。
　　赫夫曼編碼就是長度可變（編碼長度最短）的前綴編碼。其實，赫夫曼編碼的構造就是赫夫曼樹的構造過程：即字符至關於葉子結點；字符出現的機率至關於結點的權值；因爲構造的赫夫曼樹權值越大的結點離根結點越近，因此字符出現機率越大的字符離根結點越近，路徑也就越短。
　　因此，A、B、C、D（0.四、0.三、0.二、0.1）構造的赫夫曼樹過程以下：
　　1）構造赫夫曼樹。
　　2）約定左分支表示0，右分支表示1。
　　3）從根結點到字符結點的路徑組成的編碼就是該字符的赫夫曼編碼。
　　
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