專題——極值定理及應用

此次爲你們帶來數論中一個比較簡單可是很重要的專題。

極值定理：

<1>極大極小值定理：

　　極大值：若是N個正數的和X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，那麼當X₁=X₂=X₃=…X_N時，乘積Z₁Z₂Z₃…Z_N有最大值：(S/N)^N。

　　極小值：若是N個正數的積X₁X₂X₃…X_N=K(定值)，那麼當X₁=X₂=X₃=…X_N時，和X₁+X₂+X₃+…+X_N有最小值：。

<2>最小數原理：

　　假設M是天然數集的一個非空子集，則M中必定有一個最小數。按照某種標準，經過排序處理最小數問題的方法稱爲「最優策略」。

 

應用舉例：

例1：求最小值——極小值定理

題目描述 Description

　　求1/x+x²在x>0時的最小值。

思路：

　　根據極小值原理，原式=1/2x+1/2x+x²，這樣就變成了3個正數相加的狀況，如今要求極小值，那麼咱們看看這三個數相乘的結果，(1/2x)×(1/2x)×x²=1/4是一個定值，徹底符合極小值定理應用規則，當1/2x=x²時，即x=，有最小值。

例2：容積最大——極大值定理

題目描述 Description

　　有一塊邊長爲A的正方形鐵片，要在四角各減去一個一樣大小的正方形作無蓋盒子，問如何裁剪可以使其盒子的容積最大？

思路：

　　設體積爲V，減去的小正方形邊長爲X，那麼：V=X×(A-2X)²=1/4×4X×(A-2X)²。

　　由於4X+(A-2X)+(A-2X)=2A爲一個定值，就符合極大值原理，當A-2X=4X時，容積V最大，X=A/6。

例3：乘積最大——極大值定理

題目描述 Description

　　將正整數n分紅k部分(k≤n)，要求乘積最大最小。

思路：

　　這題就是經典的極大極小值定理綜合應用，方法在這，套路不變，仍是同樣的解法。

　　對於極大值：咱們能夠把用k整除n，這樣就把n平均分紅k部分，而且儘量的保證了X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，可是，若是有餘數怎麼辦？這樣很簡單，咱們能夠把餘數平均地從頭至尾放到前面分解出來的每一個因子裏面，如18/4，因子爲：四、四、四、4，餘數爲22，把2平均分紅兩份放到前面兩個4中，變成五、五、四、4，這樣乘積就最大了。還有一個問題，爲何不能把餘數2直接放到四、四、四、4的後面變爲四、四、四、四、2呢？這也很簡單，把較大因子變大相乘永遠比把加數放到後面相乘來得大，這個能夠用數學來推導，在這裏我就不細說了。

　　對於極小值：只要將n分爲k-1個1和一個n-k+1便可，由於要使乘積儘可能最小，要儘量的使得乘積最小值不變，分解爲1的緣由是由於1和任何數相乘都不變。

例4：最大值——極大值定理

題目描述 Description

　　設正整數m，n，1≤m，n≤1996，且(n²-nm-m²)²=1，求n²+m²的最大值。

思路：

　　根據(n²-nm-m²)²=1兩邊開方能夠得出n²-mn-m²+1=0①和n²-mn-m²-1=0②，根據求根公式，式子①的根n₁n₂爲：n₁或n₂=(m+△₁或△₂)/2，式子②的根n₃n₄爲：n₃或n₄=(m,-△₁或△₂)/2，其中△₁=，△₂=，因爲n＞1,所以排除了n₃和n₄存在的可能性,即n=n₁=(m+△₁)/2或者n=n₂=(m+△₂)/2，又因爲n和m是整數,所以△₁和△₂應爲整數.一樣,(m+△₁)/2 和 (m+△₂)/2也應爲整數，因爲m²+n²單調遞增,所以咱們從m=k出發,按遞減方向將m值代入n的求根公式.只要△₁（或△₂）爲整數,n₁或n₂爲整數且小於k,則得出的一組m和n必定使m²+n²的值最大。

　　根據以上結論，若m=1，n=1，則m，n知足方程。

　　令u₁=1，u₂=1，(u₂²-u₂u₁-u₁²)²=1，令u₃=2，(u₃²-u₃u₂-u₂²)²=1…令u_k=u_k-1+u_k-2，代入方程可得(u_k²-u_ku_k-1-u_k-1²)²=1。

　　按照這樣就能夠獲得一個序列{u₁u₂,…,u_k,…}且u₁=1，代入數據，就能夠看出序列爲：{1,1,2,3,5,8,13,21,…,987,1597},就是斐波那契數列中不超過1996的數列，當n取987，m取1597就能夠獲得最大值：987²+1597²=3524578