用一個N點復序列的FFT同時計算兩個N點實序列離散傅里葉變換

1、功能

用一個\(N\)點復序列快速傅立葉變換算法來同時計算兩個\(N\)點實序列的離散傅立葉變換。

2、方法簡介

假設\(x(n)\)與\(y(n)\)都是長度爲\(N\)的實序列，爲計算其離散傅立葉變換\(X(k)\)與\(Y(k)\)，咱們將\(x(n)\)與\(y(n)\)組合成一個複數序列\(h(n)\)，
\[ h(n) = x(n) + j y(n) \]
經過FFT 運算能夠得到\(h(n)\)的離散傅立葉變換\(H(k)\)，\(H(k)\)可表示爲
\[ H(k) = X(k) + j Y(k) \]
根據求得的\(H(k)\)，並利用DFT的奇偶共輒性，咱們獲得\(X(k)\)和\(Y(k)\)爲
\[ \left\{\begin{matrix}\begin{align*}X(k)&=\frac{1}{2}[H(k)+H^{*}(N-k)]\\ Y(k)&=-\frac{j}{2}[H(k)-H^{*}(N-k)]\end{align*}\end{matrix}\right. \]

3、使用方法

/************************************
    x       ----長度爲n。開始時存放要變換的實數據，最後存放變換結果的前n/2+1個值，
                其存儲順序爲[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
                其中Re(0)=X(0),Re(n/2)=X(n/2)。根據X(k)的共軛對稱性，很容易寫
                出後半部分的值。
    x       ----長度爲n。開始時存放要變換的實數據，最後存放變換結果的前n/2+1個值，
                其存儲順序爲[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
                其中Re(0)=Y(0),Re(n/2)=Y(n/2)。根據Y(k)的共軛對稱性，很容易寫
                出後半部分的值。                
    n       ----數據長度，必須是2的整數次冪，即n=2^m。
************************************/
#include "fft.c"

void r2fft(double *x, double *y int n)
{
    int i, n1;
    double tr, ti;
    n1 = n / 2;
    fft(x, y, n, 1);
    for(i = 1; i < n1; i++) {
        tr = (x[i] + x[n - i]) / 2;
        ti = (y[i] - y[n - i]) / 2;
        y[i] = (y[n - i] + y[i]) / 2;
        y[n - i] = (x[n - i] - x[i]) / 2;
        x[i] = tr;
        x[n - i] = ti;
    }
}

fft.c文件參見快速傅里葉變換