14種16階羣、13種60階羣的結構與表示(附GAP軟件的使用)

共有14個不一樣的16階羣，其中交換羣有5個，其他9個爲非交換羣。
gap> L:=Factors(16);
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> G:=AbelianGroup(L);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 14 ]
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> L1:=[L[1],L[2],L[3]*L[4]];
[ 2, 2, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L1);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 10 ]
[ 2, 2, 4 ]
gap> L2:=[L[1]*L[2],L[3]*L[4]];
[ 4, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L2);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 2 ]
[ 4, 4 ]
gap> L3:=[L[1]*L[2]*L[3]*L[4]];
[ 16 ]
gap> G:=AbelianGroup(L3);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 1 ]
[ 16 ]
gap> L4:=[L[1],L[2]*L[3]*L[4]];
[ 2, 8 ]
gap> G:=AbelianGroup(L4);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 5 ]
[ 2, 8 ]
20151029：陳鬆良等人的《論60階羣的構造》一文證實了60階羣是單羣的充要條件是它的Sylow 5-子羣不正規，其他的12個60階非單羣的Sylow 5-子羣正規。原文中漏掉了2種60階羣：GAP4[60,7]、GAP4[60,8]。
gap> F:=FreeGroup(1);;G1:=F/[F.1^60];;StructureDescription(G1);IdGroup(G1);
"C60"
[ 60, 4 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G2:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*F.2];;StructureDescription(G2);IdGroup(G2);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G3:=F/[F.1^12, F.2^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2^2)^(-1)];;StructureDescription(G3);IdGroup(G3);
"C3 x (C5 : C4)"
[ 60, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G4:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1)];;StructureDescription(G4);IdGroup(G4);
"C30 x C2"
[ 60, 13 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G5:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.2 * F.1*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.2)^(-1),F.1^(-1) * F.3 * F.1*F.3];;StructureDescription(G5);IdGroup(G5);
"C6 x D10"
[ 60, 10 ]
gap> F:=FreeGroup(4);;G6:=F/[F.1^2, F.2^2,F.3^3,F.4^5,F.2^(-1) * F.1 * F.2*(F.1)^(-1),F.3^(-1) * F.1 * F.3*(F.2)^(-1),F.3^(-1) * F.2 * F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.1^(-1)*F.4*F.1*F.4^(-1),F.2^(-1)*F.4*F.2*F.4^(-1),F.3^(-1)*F.4*F.3*F.4^(-1)];;StructureDescription(G6);IdGroup(G6);
"C5 x A4"
[ 60, 9 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G7:=F/[F.1^6, F.2^2,F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G7);IdGroup(G7);
"C10 x S3"
[ 60, 11 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G8:=F/[F.1^30, F.2^2,F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G8);IdGroup(G8);
"D60"
[ 60, 12 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G9:=F/[F.1^6, F.2^2*(F.1^3)^(-1),F.3^5,F.1^(-1) * F.3 * F.1*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.3 * F.2*(F.3)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G9);IdGroup(G9);
"C5 x (C3 : C4)"
[ 60, 1 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G10:=F/[F.1^30, F.2^2*(F.1^15)^(-1),F.2^(-1) * F.1 * F.2*F.1];;StructureDescription(G10);IdGroup(G10);
"C15 : C4"
[ 60, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(3);;G11:=F/[F.1^3, F.2^3,F.3^3,(F.1 * F.2)^2,(F.1 * F.3)^2,(F.2 * F.3)^2];;StructureDescription(G11);IdGroup(G11);
"A5"
[ 60, 5 ]
gap> for n in [1..13] do G:=SmallGroup(60,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("是否冪零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同構羣：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 60, 1 ]:1,1,2,6,4,2,4,0,8,24,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 48, 35 ],C5 x (C3 : C4)
[ 60, 2 ]:1,1,2,10,4,2,4,20,8,0,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 80, 50 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 3 ]:1,1,2,30,4,2,4,0,8,0,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 240, 195 ],C15 : C4
[ 60, 4 ]:1,1,2,2,4,2,4,4,8,8,8,16,是否冪零：true,自同構羣：[ 16, 10 ],C60
[ 60, 5 ]:1,15,20,0,24,0,0,0,0,0,0,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 120, 34 ],A5
[ 60, 6 ]:1,5,2,10,4,10,0,20,8,0,0,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 40, 12 ],C3 x (C5 : C4)
[ 60, 7 ]:1,5,2,30,4,10,0,0,8,0,0,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 120, 36 ],C15 : C4
[ 60, 8 ]:1,23,2,0,4,10,12,0,8,0,0,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 120, 36 ],S3 x D10
[ 60, 9 ]:1,3,8,0,4,0,12,0,32,0,0,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 96, 186 ],C5 x A4
[ 60, 10 ]:1,11,2,0,4,22,4,0,8,0,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 80, 50 ],C6 x D10
[ 60, 11 ]:1,7,2,0,4,2,28,0,8,0,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 48, 35 ],C10 x S3
[ 60, 12 ]:1,31,2,0,4,2,4,0,8,0,8,0,是否冪零：false,自同構羣：[ 240, 195 ],D60
[ 60, 13 ]:1,3,2,0,4,6,12,0,8,0,24,0,是否冪零：true,自同構羣：[ 48, 35 ],C30 x C2
gap> Factors(60);
[ 2, 2, 3, 5 ]
gap> for n in [1..13] do g:=SmallGroup(60,n);;gid:=StructureDescription(g);Print(gid,"是否超可解：",IsSupersolvableGroup(g));s:=Elements(g);;sl2:=SylowSubgroup(g,2);;Print(IdGroup(sl2),IsSubnormal(g,sl2));sl3:=SylowSubgroup(g,3);;sl5:=SylowSubgroup(g,5);;Print(IdGroup(sl3),IsSubnormal(g,sl3),IdGroup(sl5),IsSubnormal(g,sl5),"\n");od;
C5 x (C3 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C60是否超可解：true[ 4, 1 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
A5是否超可解：false[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]false
C3 x (C5 : C4)是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C15 : C4是否超可解：true[ 4, 1 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
S3 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C5 x A4是否超可解：false[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]false[ 5, 1 ]true
C6 x D10是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C10 x S3是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
D60是否超可解：true[ 4, 2 ]false[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
C30 x C2是否超可解：true[ 4, 2 ]true[ 3, 1 ]true[ 5, 1 ]true
定理：p^n階羣G的自同構羣的階|Aut(G)|恆爲|Aut(E(p^n))|的因數。
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否冪零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同構羣：",Order(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否冪零：true,自同構羣：8,C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：96,C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：32,(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：32,C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：16,C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：16,C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：32,D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：16,QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：32,Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：192,C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：64,C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：192,C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：48,(C4 x C2) : C2
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,秩：4,是否冪零：true,自同構羣：20160,C2 x C2 x C2 x C2
gap> for n in [1..14] do G:=SmallGroup(16,n);idn:=IdGroup(G);Print(idn);Print(":");L:=List(Elements(G),Order);;M:=[1,2,4,8,16];;for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od;Print("秩：",RankPGroup(G),",","是否冪零：",IsNilpotentGroup(G),",","自同構羣：",IdGroup(AutomorphismGroup(G)),",",StructureDescription(G),"\n");od;
[ 16, 1 ]:1,1,2,4,8,秩：1,是否冪零：true,自同構羣：[ 8, 2 ],C16
[ 16, 2 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 96, 195 ],C4 x C4
[ 16, 3 ]:1,7,8,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 32, 27 ],(C4 x C2) : C2
[ 16, 4 ]:1,3,12,0,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 32, 27 ],C4 : C4
[ 16, 5 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 16, 11 ],C8 x C2
[ 16, 6 ]:1,3,4,8,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 16, 11 ],C8 : C2
[ 16, 7 ]:1,9,2,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 32, 43 ],D16
[ 16, 8 ]:1,5,6,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 16, 11 ],QD16
[ 16, 9 ]:1,1,10,4,0,秩：2,是否冪零：true,自同構羣：[ 32, 43 ],Q16
[ 16, 10 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：[ 192, 1493 ],C4 x C2 x C2
[ 16, 11 ]:1,11,4,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：[ 64, 138 ],C2 x D8
[ 16, 12 ]:1,3,12,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：[ 192, 955 ],C2 x Q8
[ 16, 13 ]:1,7,8,0,0,秩：3,是否冪零：true,自同構羣：[ 48, 48 ],(C4 x C2) : C2
Error, the group identification for groups of size 20160 is not available called from
[ 16, 14 ]:1,15,0,0,0,IdGroup( AutomorphismGroup( G ) ) called from
<function "unknown">( <arguments> )
 called from read-eval loop at line 13 of *stdin*
you can 'quit;' to quit to outer loop, or
you can 'return;' to continue

2014-7-5補充:
16階羣G16_6的中心是C_2×C_2，換位子羣是C_2。
0
1
6
7
|Z(K8C2)|=4
0
6
|(K8C2)'|=2
這裏的K8C2是指(C_4×C_2)與C_2的某種半直積。
16階Pauli羣的中心是C_4，換位子羣是C_2。
0
1
14
15
|Z(P)|=4
0
1
|(P)'|=2
20140705證實了16階Pauli羣P是Q_8的擴羣；D_4×C_2是D_4的擴羣；C_4×C_4是C_4的擴羣；S_4是C_4的擴羣。 
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(QD_16);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1)^(-1)];;IdGroup(QD_8);
[ 8, 2 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^7)^(-1)];;IdGroup(QD_32);
[ 32, 19 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;QD_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^15)^(-1)];;IdGroup(QD_64);
[ 64, 53 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_32:=F/[F.1^16,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^9)^(-1)];;IdGroup(M_32);
[ 32, 17 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_16:=F/[F.1^8,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^5)^(-1)];;IdGroup(M_16);                               
[ 16, 6 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;D_8:=F/[F.1^4,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^3)^(-1)];;IdGroup(D_8);                                 
[ 8, 3 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;M_64:=F/[F.1^32,F.2^2,F.2*F.1*F.2*(F.1^17)^(-1)];;IdGroup(M_64);                             
[ 64, 51 ]
20140706證實了16階擬二面體羣QD_16是Q_8的擴羣；D_8是C_8的擴羣；D_4是C_4的擴羣；C_4×C_2是C_4的擴羣；D_4×C_2是C_4×C_2的擴羣；G16_6是C_4×C_2的擴羣；
Q_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
16階Pauli羣P：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
5,6,7,8,1,2,3,4
16階擬二面體羣QD_16：
0,0,0,0,0,0,0,0
5,6,8,7,2,1,3,4
3,4,2,1,7,8,6,5
2,1,4,3,6,5,8,7
8,7,5,6,2,1,4,3
D_4：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0
3,4,1,2,5,7,6
1,3,2,4,5,6,7
1,2,3,4,5,7,6
C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
C_4×C_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,7,8,5
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,3,4,6,5,7,8
D_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,4,3,2,6,5,7,8
S_4：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
1,2,4,3,5,6,7,8
C_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
D_8：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,5,6,7,8,1
8,7,6,5,4,3,2,1
C_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
D_4×C_2：
0,0,0,0,0,0,0,0
2,3,4,1,5,6,7,8
4,1,2,3,7,8,5,6
4,3,2,1,8,7,6,5
2014-6-1補充:
冪零、可解之間
低階羣工具http://wims.unice.fr/wims/cn_tool~algebra~smallgroup.html
有限羣冪零性的研究http://www.docin.com/p-387566041.html
第1章 引言
1.1  問題的提出及研究意義
對於有限羣的冪零性的研究已受到不少羣論專家的關注。Ito指出設G是奇數階羣，若羣G的每一個極小子羣都含於Z(G)，則G冪零。還有許多其餘專家也獲得了若干羣冪零的結論（見文獻[1]中Ⅳ章），例如冪零還有兩個衆所周知的等價條件：每一極大子羣正規，每一Sylow子羣正規。能夠說羣的冪零性研究是一個著名經典的課題。而從子羣的半覆蓋避開性、覆蓋避開性來研究有限羣的性質近幾年也引發了專家們的注意。
第2章 緒論
2.1  羣論的發展及內容
2.2 羣論的研究方法及應用
第3章 預備知識

20151101猜測：有理數域上的分圓擴張的伽羅瓦羣不多是GAP4[16,14]=E_1六、GAP4[16,2]=C_4×C_4。或者說對任意n，(Z/nZ)^*≠E_1六、C_4×C_4。
gap> n:=16;;for i in [n..500] do Ui:=Units(Integers mod i);;gid:=IdGroup(Ui);if n=gid[1] then Print(i,":",gid,"\n");fi;od;
17:[ 16, 1 ]
GAP4[16,1]=G16_1=C_16
32:[ 16, 5 ]
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1個1階元，3個2階元，4個4階元，8個8階元，0個16階元
34:[ 16, 1 ]
40:[ 16, 10 ]
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1個1階元，7個2階元，8個4階元，0個8階元，0個16階元
48:[ 16, 10 ]
60:[ 16, 10 ]
16階非循環阿貝爾羣：K_4⊕C_4=U40=U48≠K_4⊕K_4≠C_8⊕C_2=U32≠C_4⊕C_4
16階阿貝爾羣：K_4×C_4≠ K_4×K_4≠C_8×C_2≠C_4×C_4
羣的指數的定義：
The exponent of a group is defined as the least common multiple of the orders of all elements of the group. If there is no least common multiple, the exponent is taken to be infinity (or sometimes zero, depending on the convention).
例如：
16階初等阿貝爾羣C_2×C_2×C_2×C_2的指數爲2
16階阿貝爾羣C_4×C_四、C_2×C_2×C_4的指數爲4
16階阿貝爾羣C_2×C_8的指數爲8
16階循環羣C_16的指數爲16
指數爲4的16階非Abel羣有5個：G16_6=K8C二、G16_7=C4C四、G16_12=D_4×C_二、G16_13=Q_8×C_二、G16_14=Cb8C2=P
指數爲8的16階非Abel羣有4個：G16_8=M_1六、G16_9=D_八、G16_10=QD_1六、G16_11=Q_16
非Abel冪零羣的例子
證實：Q_8和D_4是非Abel冪零羣。
rank(Q_8)=2
rank(D_4)=2
證實：9種16階非Abel羣都是冪零羣。
編號  GAP 序列號  性質  指數  中心  G/[G,G]  共軛類  子羣  子羣類  正規子羣  
1  1  循環  8  C8  C8  8  --  --  --  
2  2  阿貝爾  4  C2×C4  C2×C4  8  --  --  --  
3  5  阿貝爾  2  C23  C23  8  --  --  --  
4  4  冪零  4  C2  C22  5  6  6  6  
5  3  冪零  4  C2  C22  5  10  8  6 

非冪零可解羣的例子
證實：A_4和Q_12是非冪零可解羣。
rank(A_4)=2
rank(Q_12)=2
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3
羣的性質
重要性質
最小的非Abel羣、最小的非冪零羣，是亞循環羣、超可解羣、可解羣。
解釋：
(1,2)和(2,3)不交換
無中心羣：中心是平凡的
亞循環羣必是超可解羣
亞循環羣必是可解羣
子羣有6個，子羣類有4個[1,2,3,6階子羣]，正規子羣有3個[1,3,6階子羣]
S_3的2階羣不惟一，因此不是正規子羣，從而非冪零（羣G冪零當且僅當全部Sylow子羣都正規）

經典力學的伽利略變換羣是6階非交換羣S_3={e,a,b,c,d,f}
e是1階元
c,d,f是2階元，c^2=e，d^2=e，f^2=e
a,b是3階元，ab=ba=e=a^3=b^3
{e,a,b}=C_3是S_3的正規子羣
定義域X=R\{0,1}
e(x)=x
a(x)=(x-1)/x
b(x)=1/(1-x)
c(x)=1-x
d(x)=x/(x-1)
f(x)=1/x
例如fa=d，af=c
共軛類的數量性質與有限羣結構
http://www.docin.com/p-808223186.html
有限羣的共軛類個數與羣的性質
http://www.doc88.com/p-384777328732.html
摘要：用羣的共軛類個數刻畫了交換羣，同時用一個很簡潔的方法從新證實了Frobenius G提出的一個著名的問題：對於一個固定的數天然數n，共軛類數爲n的有限羣，在同構的意義下是有限的。
關鍵詞：共軛類；可解羣；交換羣
1定義及引理
羣的共軛類個數和羣的性質有很是密切的關係。咱們規定：G表示有限羣，Con(G)表示G的共軛類個數，o(a)表示元素a的階。
定義1.1給定羣G，對G種的兩個元a，b，若存在G種的某個元g，使得g^-1ag=b，就成元素a，b在G中共軛，記爲a~b。
定義1.2設a是羣G的任意元素，稱C_(a)={g∈G|ga=ag}爲元素a在G中的中心化子。
2主要結果及其證實
定理2.1有限羣G爲交換羣的充分必要條件是Con(G)=|G|。
定理2.2共軛類數爲1的有限羣，只能是單位元羣{e}。
定理2.3共軛類數爲2的有限羣，只能是2階循環羣。
定理2.4共軛類爲3的有限羣
（i）是可解羣；（ii）是3階循環羣或者6階羣。
定理2.5共軛類數爲n的有限羣，在同構意義下是有限的。
http://www.docin.com/p-541668648.html
例1：肯定C_2羣的特徵標表
有2個類，因此l_1=1,l_2=1
C_2 e c_2
χ^(1) 1 1
χ^(2) 1 -1
肯定有限羣的特徵標表的通常方法：
1肯定不可約表示的個數和相應維數
2.必有單位表示
3.單位表示的特徵標等於表示的維度
4.利用特徵標的正交性、完備性定理
5.利用某些羣元的特殊性質
6.利用商羣
例2：C_3ν羣有幾個不可約表示？各自維數是多少？求出特徵標和表示矩陣。
http://www.docin.com/p-558256003.html
羣表示的特徵標數學定義及其性質
特徵標的定義：羣表示的特徵標是羣表示矩陣的跡（對角矩陣元之和）。
特徵標的性質：1同類羣元的特徵標相同；2等價表示的特徵標相同。
對特徵標的評價：特徵標保留了羣的重要信息，與表示矩陣相比，特徵標丟掉了一些信息。
有限羣不可約表示特徵標表
http://www.docin.com/p-376188524.html
用本徵函數法計算D_3羣特徵標
http://www.docin.com/p-255348858.html
Frobenius羣及其某些性質的特徵標證實
某些Frobenius羣的特徵標問題及10000階之內非交換單羣的特徵標分塊
http://www.docin.com/p-706802731.html
引言、符號及預備知識
引言
特徵標理論是表示論的基礎，對羣論的研究及其發展，特別是對羣結構的研究有着重要做用。有限羣的特徵標表能夠顯示羣的許多信息，諸如冪零性、可解性及單性。自從Brauer對有限羣G的不可約特徵標特徵標集Irr(G)的p-塊進行研究以後，就有很多關於π-塊的討論。
Frobenius羣的若干刻劃
http://www.docin.com/p-706287836.html
摘要
有限羣的特徵標理論中兩大著名的應用之一就是Frobenius定理，該定理在上世紀初給出證實，它引領諸多學者隨之進行Frobenius羣的研究。研究發現Frobenius羣是一類極爲重要的羣，其自己具備很強的性質，在有限羣的特徵標理論與羣的結構理論中均扮演着重要的角色。
本文的目的是進一步刻劃Frobenius羣。第一章給出了研究Frobenius羣所必需的一些預備知識，主要包括一些定義和引理。第二章介紹了Frobenius羣的重要羣論性質。第三章利用特徵標理論刻劃了Frobenius羣。
關鍵詞：Frobenius羣；特徵標。
引言
本文中除非特別聲明，所指的羣均爲有限羣；所指的特徵標均爲複數域上的特徵標。本文所使用的符號都是標準的，可參看[10]與[30]。
特徵標理論在有限羣論中的兩大著名應用就是Burnside的p^aq^b-定理和Frobenius定理，這兩大定理的特徵標方法的證實在上世紀初已經獲得，因而諸學者開始尋找它們的純羣論的證實，其中Burnside的p^aq^b-定理的純羣論證實在上世紀80年代分別由Bender、Goldschmidt和Matsuyama給出。他們在證實過程當中運用了Feit和Thompson證實奇數階羣可解過程當中的方法。而Frobenius羣的純羣論證實至今還沒有獲得，這也導致愈來愈多的學者研究和挑戰Frobenius定理。
Frobenius定理是德國數學家F.G.Frobenius在1901年提出的，定理內容是：若羣H≠{1}是羣G的真子羣，且對任意g∈G-H都有H∩H^g={1}，則存在N?G，使得G=N:H。具備這種性質的羣后來被命名爲Frobenius羣。另外，N=G-∪[g∈G](H^g-{1})是G的正規子羣，稱之爲羣G的Frobenius核，自上世紀初由Frobenius給出了利用特徵標理論的證實後，就引起了找出該定理純羣論證實的挑戰，同時也致使了對Frobenius羣的研究熱潮。
諸多學者在研究Frobenius定理的證實過程當中發現Frobenius羣自己具備不少獨特的性質，例如：Frobenius羣G的核N和它的補H的階是互素的，而且它的核和補都是羣G的Hall-子羣；任意的L?G都有L<=N或者N<L；由Thompson定理還有G的Frobenius核N是冪零的，Burnside證實了Frobenius補的sylow-子羣均是循環羣，他也曾證實全部的奇數階Frobenius補循環，遺憾的是他的證實出現錯誤，該結論後來被Zassenhaus證實。
Frobenius羣除自己具備不少獨特的性質以外，在它的性質和結構逐漸清楚以後，使得Frobenius羣在有限羣的研究和構造中成爲一個重要的工具。例如：若非平凡羣無不動點地做用在非平凡羣N上，則半直積G=N:H就構成Frobenius羣，進而可刻劃出該羣的結構。
關於羣的階與羣的不可約特徵標個數的商
http://www.docin.com/p-778073095.html
摘要：本文定義了μ(G)=|G|/|Irr(G)|，並給出了|G/G’|=3時μ(G)的範圍。
關鍵詞：羣的階；不可約特徵標
羣的階、羣的不可約特徵標個數是有限羣的兩個重要的數字特徵量。在不少狀況下，這些數字特徵量可以決定這個羣的羣論結構。
設G是一個有限羣，定義μ(G)=|G|/|Irr(G)|μ，則μ(G)能夠從某種角度上衡量羣G與交換羣的接近程度。顯然μ(G)>=1，而且μ(G)=1當且僅當G交換。由於μ(G)和|G/G’|均可以反映羣G與交換羣的接近程度，在文獻[1]中已經給出當|G/G’|=1，2時μ(G)的範圍，本文將繼續討論當|G/G’|=3時μ(G)的範圍。?
下一步計劃：用c++程序斷定一個羣是否冪零、是否可解，並列舉出52種48階羣和13種60階羣的結構與表示。
非冪零可解羣的進一步區分：非冪零超可解羣、非超可解多重循環羣、非多重循環可解羣
低階羣工具http://wims.unice.fr/wims/cn_tool~algebra~smallgroup.html
http://oeis.org/wiki/Number_of_groups_of_order_n
52種48階羣：5種Abel羣，9種非Abel冪零羣，38種非冪零可解羣
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/48/
13種60階羣：2種Abel羣，0種非Abel冪零羣，10種非冪零可解羣，1種非可解羣
http://pari.math.u-bordeaux.fr/galpol/60/
第1種60階羣：Q_12×C_5
工具1：DP.exe
請輸入羣A凱萊表文件名：Q12.txt
請輸入羣B凱萊表文件名：C5.txt
請輸入直積羣A×B凱萊表文件名：Q12C5.txt
工具2：calG.exe
請輸入羣A凱萊表文件名：Q12C5.txt
Q12C5有1個1階元，1個2階元，2個3階元，6個4階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，0個12階元，8個15階元，24個20階元，8個30階元，0個60階元
第2種60階羣：Q_20×C_3
Q20C3有1個1階元，1個2階元，2個3階元，10個4階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，20個12階元，8個15階元，0個20階元，8個30階元，0個60階元
第3種60階羣：C_15:C_4
Q60有1個1階元，1個2階元，2個3階元，30個4階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，8個30階元，0個60階元
第4種60階羣：C_60
C60有1個1階元，1個2階元，2個3階元，2個4階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，4個12階元，8個15階元，8個20階元，8個30階元，16個60階元
第5種60階羣：A_5
A5有1個1階元，15個2階元，20個3階元，0個4階元，24個5階元，0個6階元，0個10階元，0個12階元，0個15階元，0個20階元，0個30階元，0個60階元
20140621
GL(2,5)有1個1階元，31個2階元，20個3階元，152個4階元，24個5階元，20個6階元，40個8階元，24個10階元，40個12階元，0個15階元，0個16階元，48個20階元，80個24階元，0個30階元，0個32階元，0個40階元，0個48階元，0個60階元，0個80階元，0個96階元，0個120階元，0個160階元，0個240階元，0個480階元
SL(2,5)有1個1階元，1個2階元，20個3階元，30個4階元，24個5階元，20個6階元，0個8階元，24個10階元，0個12階元，0個15階元，0個20階元，0個24階元，0個30階元，0個40階元，0個60階元，0個120階元
SL(2,5)的中心是C_2，換位子羣是120階羣，射影中心是60階羣，射影換位子羣是C_1
60階羣PSL(2,5)同構於60階羣A_5。
gap> IdGroup(AlternatingGroup(5));
[ 60, 5 ]
gap> IdGroup(PSL(2,5));
[ 60, 5 ]
GL(2,5)是(25-1)(25-5)=480階羣，SL(2,5)是480/4=120階羣，PSL(2,5)是120/2=60階羣。
gap> IdGroup(GL(2,5));
[ 480, 218 ]
gap> IdGroup(PGL(2,5));
[ 120, 34 ]
20140620
GL(2,4)有1個1階元，15個2階元，62個3階元，0個4階元，24個5階元，30個6階元，0個9階元，0個10階元，0個12階元，48個15階元，0個18階元，0個20階元，0個30階元，0個36階元，0個45階元，0個60階元，0個90階元，0個180階元
GL(2,4)=A_5×C_3=D(GL(2,4))×Z(GL(2,4))，即這個180階羣的換位子羣、射影中心是A_60，中心、射影換位子羣是C_3
第6種60階羣：F_20×C_3
F20C3有1個1階元，5個2階元，2個3階元，10個4階元，4個5階元，10個6階元，0個10階元，20個12階元，8個15階元，0個20階元，0個30階元，0個60階元
第7種60階羣：C_15:C_4
第8種60階羣：D_5×D_3
D5D3有1個1階元，23個2階元，2個3階元，0個4階元，4個5階元，10個6階元，12個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，0個30階元，0個60階元
第9種60階羣：A_4×C_5
A4C5有1個1階元，3個2階元，8個3階元，0個4階元，4個5階元，0個6階元，12個10階元，0個12階元，32個15階元，0個20階元，0個30階元，0個60階元
第10種60階羣：D_5×C_6=D_10×C_3=D_5×C_2×C_3
D5C6=D10C3有1個1階元，11個2階元，2個3階元，0個4階元，4個5階元，22個6階元，4個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，8個30階元，0個60階元
第11種60階羣：C_10×D_3
C10D3有1個1階元，7個2階元，2個3階元，0個4階元，4個5階元，2個6階元，28個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，8個30階元，0個60階元
第12種60階羣：D_30
D15C2有1個1階元，31個2階元，2個3階元，0個4階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，8個30階元，0個60階元
第13種60階羣：C_15×C_2×C_2
C15C2C2有1個1階元，3個2階元，2個3階元，0個4階元，4個5階元，6個6階元，12個10階元，0個12階元，8個15階元，0個20階元，24個30階元，0個60階元
52種48階羣
編號  GAP 序列號  性質  指數  中心  G/[G,G]  共軛類  子羣  子羣類  正規子羣  
1  2  循環  48  C3×C16  C3×C16  48  --  --  --  
2  23  阿貝爾  24  C2×C3×C8  C2×C3×C8  48  --  --  --  
3  20  阿貝爾  12  C3×C42  C3×C42  48  --  --  --  
4  44  阿貝爾  12  C22×C3×C4  C22×C3×C4  48  --  --  --  
5  52  阿貝爾  6  C24×C3  C24×C3  48  --  --  --  
6  7  兩面體  24  C2  C22  15  68  22  11  
7  27  冪零  24  C2×C3  C22×C3  21  22  18  14  
8  26  冪零  24  C2×C3  C22×C3  21  30  20  14  
9  25  冪零  24  C2×C3  C22×C3  21  38  22  14  
10  24  冪零  24  C3×C4  C2×C3×C4  30  22  20  18  
11  47  冪零  12  C3×C4  C23×C3  30  46  40  34  
12  22  冪零  12  C22×C3  C2×C3×C4  30  30  26  22  
13  21  冪零  12  C22×C3  C2×C3×C4  30  46  34  22  
14  46  冪零  12  C22×C3  C23×C3  30  38  38  38  
15  45  冪零  12  C22×C3  C23×C3  30  70  54  38  
16  1  可解  48  C8  C16  24  12  10  9  
17  28  可解  24  C2  C2  8  35  13  5  
18  29  可解  24  C2  C2  8  55  16  5  
19  18  可解  24  C2  C22  12  32  18  11  
20  16  可解  24  C2  C22  12  40  20  11  
21  17  可解  24  C2  C22  12  48  20  11  
22  15  可解  24  C2  C22  12  56  22  11  
23  8  可解  24  C2  C22  15  36  18  11  
24  6  可解  24  C2  C22  15  52  20  11  
25  10  可解  24  C4  C2×C4  18  28  20  15  
26  5  可解  24  C4  C2×C4  18  36  20  13  
27  4  可解  24  C8  C2×C8  24  36  22  15  
28  9  可解  24  C2×C4  C2×C8  24  28  22  19  
29  3  可解  12  1  C3  8  36  10  4  
30  30  可解  12  C2  C4  10  52  19  7  
31  48  可解  12  C2  C22  10  98  33  9  
32  40  可解  12  C2  C23  15  64  38  25  
33  39  可解  12  C2  C23  15  72  40  23  
34  41  可解  12  C2  C23  15  80  40  23  
35  38  可解  12  C2  C23  15  120  54  25  
36  33  可解  12  C4  C2×C3  14  37  15  7  
37  37  可解  12  C4  C23  18  76  40  23  
38  31  可解  12  C4  C3×C4  16  42  19  9  
39  32  可解  12  C22  C2×C3  14  41  18  9  
40  12  可解  12  C22  C2×C4  18  44  26  17  
41  13  可解  12  C22  C2×C4  18  44  26  19  
42  19  可解  12  C22  C2×C4  18  60  34  19  
43  14  可解  12  C22  C2×C4  18  76  34  17  
44  34  可解  12  C22  C23  18  60  38  27  
45  43  可解  12  C22  C23  18  108  54  27  
46  36  可解  12  C22  C23  18  124  54  27  
47  11  可解  12  C2×C4  C42  24  44  30  23  
48  35  可解  12  C2×C4  C22×C4  24  92  54  35  
49  42  可解  12  C23  C22×C4  24  76  54  43  
50  50  可解  6  1  C3  8  104  34  8  
51  49  可解  6  C22  C22×C3  16  92  39  15  
52  51  可解  6  C23  C24  24  236  134  83  
13種60階羣
號  GAP 序列號  性質  指數  中心  G/[G,G]  共軛類  子羣  子羣類  正規子羣  
1  5  單  30  1  1  5  59  9  2  
2  4  循環  60  C3×C4×C5  C3×C4×C5  60  --  --  --  
3  13  阿貝爾  30  C22×C3×C5  C22×C3×C5  60  --  --  --  
4  12  兩面體  30  C2  C22  18  80  20  11  
5  7  可解  60  1  C4  9  40  12  7  
6  3  可解  60  C2  C4  18  32  12  9  
7  6  可解  60  C3  C3×C4  15  28  12  8  
8  2  可解  60  C2×C3  C3×C4  24  20  12  10  
9  1  可解  60  C2×C5  C4×C5  30  16  12  10  
10  8  可解  30  1  C22  12  72  20  10  
11  9  可解  30  C5  C3×C5  20  20  10  6  
12  10  可解  30  C2×C3  C22×C3  24  44  20  14  
13  11  可解  30  C2×C5  C22×C5  30  32  20  14  
15種24階羣
編號  GAP 序列號  性質  指數  中心  G/[G,G]  共軛類  子羣  子羣類  正規子羣  
1  2  循環  24  C3×C8  C3×C8  24  --  --  --  
2  9  阿貝爾  12  C2×C3×C4  C2×C3×C4  24  --  --  --  
3  15  阿貝爾  6  C23×C3  C23×C3  24  --  --  --  
4  6  兩面體  12  C2  C22  9  34  16  9  
5  11  冪零  12  C2×C3  C22×C3  15  12  12  12  
6  10  冪零  12  C2×C3  C22×C3  15  20  16  12  
7  1  可解  24  C4  C8  12  10  8  7  
8  12  可解  12  1  C2  5  30  11  4  
9  3  可解  12  C2  C3  7  15  7  4  
10  4  可解  12  C2  C22  9  18  12  9  
11  8  可解  12  C2  C22  9  30  16  9  
12  5  可解  12  C4  C2×C4  12  26  16  11  
13  7  可解  12  C22  C2×C4  12  22  16  13  
14  13  可解  6  C2  C2×C3  8  26  12  6  
15  14  可解  6  C22  C23  12  54  32  21  
14種16階羣
編號  GAP 序列號  性質  指數  中心  G/[G,G]  共軛類  子羣  子羣類  正規子羣  
1  1  循環  16  C16  C16  16  --  --  --  
2  5  阿貝爾  8  C2×C8  C2×C8  16  --  --  --  
3  2  阿貝爾  4  C42  C42  16  --  --  --  
4  10  阿貝爾  4  C22×C4  C22×C4  16  --  --  --  
5  14  阿貝爾  2  C24  C24  16  --  --  --  
6  9  冪零  8  C2  C22  7  11  9  7  
7  8  冪零  8  C2  C22  7  15  10  7  
8  7  冪零  8  C2  C22  7  19  11  7  
9  6  冪零  8  C4  C2×C4  10  11  10  9  
10  13  冪零  4  C4  C23  10  23  20  17  
11  4  冪零  4  C22  C2×C4  10  15  13  11  
12  3  冪零  4  C22  C2×C4  10  23  17  11  
13  12  冪零  4  C22  C23  10  19  19  19  
14  11  冪零  4  C22  C23  10  35  27  19  

互不一樣構的18 階和20 階羣http://www.docin.com/p-528221628.html
http://www.math.niu.edu/~beachy/courses/algebra/pedersen/small_groups.html
2種10階羣：
GAP4[10,2]=G10_1=C_10有1個1階元，1個2階元，4個5階元，4個10階元
GAP4[10,1]=G10_2=D_5有1個1階元，5個2階元，4個5階元，0個10階元
5種20階羣：
GAP4[20,2]=G20_1=C_20有1個1階元，1個2階元，2個4階元，4個5階元，4個10階元，8個20階元
GAP4[20,5]=G20_2=C_2×C_2×C_5有1個1階元，3個2階元，0個4階元，4個5階元，12個10階元，0個20階元
GAP4[20,1]=G20_3=Q_20有1個1階元，1個2階元，10個4階元，4個5階元，4個10階元，0個20階元
GAP4[20,3]=G20_4=F_20(Frobenius group F_20)有1個1階元，5個2階元，10個4階元，4個5階元，0個10階元，0個20階元
【
用幾何的方式定義置換羣。
咱們考慮的主要是有限置換羣，咱們用的域都是有限域F
F上一維仿射羣AGL_1(F)構成F的對稱羣Sym(F)的一個子羣。
若是|F|=q，則|AGL_1(F)|=q(q-1)
這時爲了清楚起見，咱們每每用AGL_1(q)來代替AGL_1(F)
F_5上的1維通常仿射羣GA(1,5)=Sz(2)=GAP4[20,3]是F_5的加法羣和乘法羣的半直積。 
Sz(2)是惟一的非單鈴木羣。鈴木羣以日本數學家鈴木通夫(M.Suzuki,1926-1998)的姓氏命名
gap> G:=SuzukiGroup(2);IdGroup(G);
Sz(2)
[ 20, 3 ]
從有限域GF(q)構造出q*(q-1)階羣：
GA(1,2)=C_2=GAP4[2,1]
GA(1,3)=S_3=GAP4[6,1]
GA(1,4)=A_4=GAP4[12,3]
GA(1,5)=SuzukiGroup(2)=GAP4[20,3]
GA(1,7)=GAP4[42,1]
GA(1,8)=GAP4[56,11]
GA(1,9)=GAP4[72,39]
】
GAP4[20,4]=G20_5=D_10=D_5×C_2有1個1階元，11個2階元，0個4階元，4個5階元，4個10階元，0個20階元
4種30階羣：
GAP4[30,4]=G30_1=C_30有1個1階元，1個2階元，2個3階元，4個5階元，2個6階元，4個10階元，8個15階元，8個30階元
GAP4[30,1]=G30_2=D_3×C_5有1個1階元，3個2階元，2個3階元，4個5階元，0個6階元，12個10階元，8個15階元，0個30階元
GAP4[30,2]=G30_3=D_5×C_3有1個1階元，5個2階元，2個3階元，4個5階元，10個6階元，0個10階元，8個15階元，0個30階元
GAP4[30,3]=G30_4=D_15有1個1階元，15個2階元，2個3階元，4個5階元，0個6階元，0個10階元，8個15階元，0個30階元
GL(2,Z[i])的有限子羣http://www.docin.com/p-717625929.html
16階模羣<{0,1,0,0,0,0,1,0},{0,1,1,0,1,1,-1,-1}>=<{0,1,0,0,0,0,1,0},{1,0,0,-1,0,0,0,0}>的C++程序實現：
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
 {1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
 {-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
 {0,1,0,0,0,0,1,0},//X
 {0,1,1,0,1,1,-1,-1},//Y
 {0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
 {0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
 {1,0,-1,-1,-1,-1,0,1},//XY
 {-1,0,1,1,1,1,0,-1},//YX=-XY
 {0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
 {0,-1,-1,0,-1,-1,1,1},//-Y
 {0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
 {0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
 {-1,-1,1,1,0,1,1,0},//X^2Y=YX^2
 {1,1,0,-1,1,0,-1,-1},//X^3Y
 {-1,-1,0,1,-1,0,1,1},//YX^3=-X^3Y
 {1,1,-1,-1,0,-1,-1,0}//-X^2Y=-YX^2
};
或
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
 {1,0,0,1,0,0,0,0},//I=Y^2
 {-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I=X^4
 {0,1,0,0,0,0,1,0},//X
 {1,0,0,-1,0,0,0,0},//Y
 {0,0,0,0,1,0,0,1},//X^2
 {0,0,-1,0,0,1,0,0},//X^3
 {0,-1,0,0,0,0,1,0},//XY
 {0,1,0,0,0,0,-1,0},//YX=-XY
 {0,-1,0,0,0,0,-1,0},//-X
 {-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Y
 {0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-X^2
 {0,0,1,0,0,-1,0,0},//-X^3
 {0,0,0,0,1,0,0,-1},//X^2Y=
 {0,0,-1,0,0,-1,0,0},//X^3Y
 {0,0,1,0,0,1,0,0},//YX^3=-X^3Y
 {0,0,0,0,-1,0,0,1}//-X^2Y=
};
int g_M16Mul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,8,9,10,11,7,6,2,3,4,5,15,14,13,12},
{2,8,4,6,5,1,12,15,10,7,11,0,13,9,3,14},
{3,9,7,0,12,14,8,2,6,1,15,13,4,11,5,10},
{4,10,5,12,1,8,13,14,11,15,0,2,9,7,6,3},
{5,11,1,13,8,10,9,3,0,14,2,4,7,15,12,6},
{6,7,15,2,13,3,10,4,12,8,14,9,5,0,1,11},
{7,6,12,8,14,9,4,10,15,2,13,3,11,1,0,5},
{8,2,10,7,11,0,15,12,4,6,5,1,14,3,9,13},
{9,3,6,1,15,13,2,8,7,0,12,14,10,5,11,4},
{10,4,11,15,0,2,14,13,5,12,1,8,3,6,7,9},
{11,5,0,14,2,4,3,9,1,13,8,10,6,12,15,7},
{12,15,14,4,9,6,11,5,13,10,3,7,1,2,8,0},
{13,14,3,5,7,12,0,1,9,11,6,15,8,4,10,2},
{14,13,9,11,6,15,1,0,3,5,7,12,2,10,4,8},
{15,12,13,10,3,7,5,11,14,4,9,6,0,8,2,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=8
G16ElementToOrder(3)=2
G16ElementToOrder(4)=4
G16ElementToOrder(5)=8
G16ElementToOrder(6)=8
G16ElementToOrder(7)=8
G16ElementToOrder(8)=8
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=8
G16ElementToOrder(12)=4
G16ElementToOrder(13)=8
G16ElementToOrder(14)=8
G16ElementToOrder(15)=4
GL(2,Z[i])的16階子羣 G16_8=M_16有1個1階元，3個2階元，4個4階元，8個8階元，0個16階元
SU(2)的16階子羣Pauli group G_1=P=G16_14的C++程序實現：
struct CIM2
{
 int a,b,c,d;
 int ai,bi,ci,di;
};
CIM2 g_CIM2Elem[16]={
 {1,0,0,1,0,0,0,0},//I
 {-1,0,0,-1,0,0,0,0},//-I
 {0,0,0,0,1,0,0,1},//iI
 {0,0,0,0,-1,0,0,-1},//-iI
 {0,1,1,0,0,0,0,0},//X
 {0,-1,-1,0,0,0,0,0},//-X
 {0,0,0,0,0,1,1,0},//iX
 {0,0,0,0,0,-1,-1,0},//-iX
 {0,0,0,0,0,-1,1,0},//Y
 {0,0,0,0,0,1,-1,0},//-Y
 {0,1,-1,0,0,0,0,0},//iY
 {0,-1,1,0,0,0,0,0},//-iY
 {1,0,0,-1,0,0,0,0},//Z
 {-1,0,0,1,0,0,0,0},//-Z
 {0,0,0,0,1,0,0,-1},//iZ
 {0,0,0,0,-1,0,0,1}//-iZ
};
int g_PMul[16][16]={
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},
{1,0,3,2,5,4,7,6,9,8,11,10,13,12,15,14},
{2,3,1,0,6,7,5,4,10,11,9,8,14,15,13,12},
{3,2,0,1,7,6,4,5,11,10,8,9,15,14,12,13},
{4,5,6,7,0,1,2,3,14,15,13,12,11,10,8,9},
{5,4,7,6,1,0,3,2,15,14,12,13,10,11,9,8},
{6,7,5,4,2,3,1,0,13,12,15,14,8,9,10,11},
{7,6,4,5,3,2,0,1,12,13,14,15,9,8,11,10},
{8,9,10,11,15,14,12,13,0,1,2,3,6,7,5,4},
{9,8,11,10,14,15,13,12,1,0,3,2,7,6,4,5},
{10,11,9,8,12,13,14,15,2,3,1,0,5,4,7,6},
{11,10,8,9,13,12,15,14,3,2,0,1,4,5,6,7},
{12,13,14,15,10,11,9,8,7,6,4,5,0,1,2,3},
{13,12,15,14,11,10,8,9,6,7,5,4,1,0,3,2},
{14,15,13,12,9,8,11,10,4,5,6,7,2,3,1,0},
{15,14,12,13,8,9,10,11,5,4,7,6,3,2,0,1},
};
G16ElementToOrder(0)=1
G16ElementToOrder(1)=2
G16ElementToOrder(2)=4
G16ElementToOrder(3)=4
G16ElementToOrder(4)=2
G16ElementToOrder(5)=2
G16ElementToOrder(6)=4
G16ElementToOrder(7)=4
G16ElementToOrder(8)=2
G16ElementToOrder(9)=2
G16ElementToOrder(10)=4
G16ElementToOrder(11)=4
G16ElementToOrder(12)=2
G16ElementToOrder(13)=2
G16ElementToOrder(14)=4
G16ElementToOrder(15)=4
Pauli group P=G16_14有1個1階元，7個2階元，8個4階元，0個8階元，0個16階元
【
三維緊緻單連通單Lie羣SU(2)[幺正幺模]的表示：
單位四元數組成Lie羣SU(2)，其基本表示爲Pauli矩陣。
SU(2)的基本表示（二維表示）是g={{z_1,-~z_2},{z_2,~z_1}}∈SU(2)
其中複數z_1,z_2知足條件：|z_1|^2+|z_2|^2=1
令z_1=t-iz,z_2=y-ix
則約束可表示爲t^2+z^2+y^2+x^2=1
SU(2)羣流形至關於R^4中的單位球S^3
|i|=|j|=|k|=1
】
【
1777年的歐拉公式：e^ix=cosx+isinx(x能夠是實數、複數、四元數、n*n矩陣等代數對象),e^ipi+1=0,虛數i=e^((pi/2)i)表明旋轉pi/2，-1=e^(pii)表明旋轉pi。e是天然對數的底，i是虛數單位。e^x能夠是負數。用實三角函數表示復指數函數。可用復指數函數表示實（復）三角函數：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/2i（奇2pi,sinz=-ish(iz)）,cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2i(偶2pi,cosz=chiz)。按：棣模弗(de Moivre)公式：e^(±xi)=cosx±isinx。雖然柯特斯（R.Cotes）在1714年發表了這個公式且與歐拉給出的略有不一樣，但只有歐拉才使該公式獲得了普遍的應用。r_1e^(ia_1)·r_2e^(ia_2)=r_1r_2e^(i(a_1+a_2)),二維實Banach代數中的乘法：(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc),(cosa_1,sina_1）·(cosa_2,sina_2）=(cos(a_1+a_2),sin(a_1+a_2))。mathlib72.dll中的_ocmul@40或CMul:=(9+11j)(56+3j)=471+643j。二維實內積空間中a+bi與c+di正交的充要條件是矢量點乘ac+bd=0。
按：復矩陣乘法(A_1,A_2)×(B_1,B_2)=(A_1B_1-A_2B_2,A_1B_2+A_2B_1)=>二維實Banach代數中的乘法（複數乘法）：(a_1,a_2)×(b_1,b_2)=(a_1b_1-a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1)。20110426定理（對1,2階方陣已證實）：(A+Bi)^(-1)=((detA)A^(-1)+(detB)B^(-1))/det(A+Bi)=((detA)A^(-1)+(detB)B^(-1))/[detA-detB+i(det(A+B)-det(A-B))/2]=u(A,B)+v(A,B)i=>z^-1=1/z=~z/|z|^2=~z/detz=(a+bi)^(-1)=(a+bi)/(a^2-b^2+2abi)=1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=>a^-1=a/a^2=(a)/det(a)。記N(A,B)=(detA-detB)^2+[(det(A+B)-det(A-B))/2]^2，M(A,B)=(detA)A^(-1)(detA-detB)+(detB)B^(-1)[(det(A+B)-det(A-B))/2]+{(detB)B^(-1)(detA-detB)-(detA)A^(-1)[(det(A+B)-det(A-B))/2]}i，則(A,B)^(-1)=(A+Bi)^(-1)=M(A,B)/N(A,B)!≡(A,-B)(A^2+B^2)^(-1)（當AB=BA時才成立）!≡(A,-B)/[detA+detB]=>(a_1,a_2)^(-1)=(a_1,-a_2)/[(a_1)^2+(a_2)^2]。在初等函數範圍內，實函能惟一天然地推廣爲覆函基於實數推廣爲複數。推廣前，一個初等函數一般是指這樣的一元實函：1.能夠用初等解析式表示；2.能夠由6種基本初等函數通過有限次四則運算或函數的複合而得；3.在定義區間連續。初等函數概念的推廣：將對數、指數和三角函數推廣到複數領域。
】
 
令p(x)是域F_p上一個n次不可約多項式，則<p(x)>是環F_p[x]的極大理想。域F_p[x]/<p(x)>中每一個元素均可唯一地表示成
a_0+a_1x+…+a_(n_1)x^(n-1)+<p(x)>，a_i∈F_p，但因爲係數取自於F_p，每一個a_i都有p種取法，故係數共有p^n種取法。亦即域F_p/<p(x)>共包含p^n個元素。

p(x)=x^2+x+1是F_2上一個不可約多項式。由於p(0)=1,p(1)=1,p(x)=0在F_2上無解。

若是把a_0+a_1x+<x^2+x+1>簡記爲a_0+a_1x，則F_4中的4個域元就能夠寫成0,1,x,x+1。

但應注意，它們的係數都屬於F_2，並且相乘時需用x^2+x+1除後所得餘式做爲其乘積。

F_4=F_2[x]/<x^2+x+1>的加法運算表：

 

+	0	1	x	x+1
0	0	1	x	x+1
1	1	0	x+1	x
x	x	x+1	0	1
x+1	x+1	x	1	0

 

乘法運算表：

 

*	0	1	x	x+1
0	0	0	0	0
1	0	1	x	x+1
x	0	x	x^2=x+1	x(x+1)=x^2+x=(x^2+x+1)+1=1
x+1	0	x+1	1	x^2+1=x

 

F_4的域元編號

0——(0,0)

1——(1,0)

2——(0,1)

3——(1,1)
加法羣C_2×C_2的凱萊運算表：
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
乘法表：
0 0 0 0

0 1 2 3

0 2 3 1

0 3 1 2 
 

p(x)=x^2+1在F_3上不可約，由於p(0)=1,p(1)=2,p(2)=2,p(x)=0在F_3上無解。
因此F_9=F_3[x]/<x^2+1>={0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2}
其加法和乘法既要聽從模3的加法和乘法(係數)，又要聽從以x^2+1爲模的加法和乘法（多項式），也就是常說的「雙模運算」。
p(x)=x^3+x+1在F_2上不可約，由於p(0)=1,p(1)=1，因此F_8=F_2[x]/<x^3+x+1>。
經過理想來研究環，這是研究環的基本方法。可是，因爲域只有平凡理想，所以沒法經過域的理想來研究域。要研究域，必須採起別的方法，其中最基本的方法就是對域進行擴張。域的擴張起源於數域的擴張。
對通常域E來講，若是E上每一個多項式都能分解成E上一次多項式的乘積，則稱這樣的E爲代數閉域。
這樣，複數域就是一個代數閉域（代數基本定理）。代數閉域再也不有真正的代數擴域。
f(x)在F上的分裂域E是包含F且f(x)能在其中徹底分解的最小域。
定理：有限域F_q=GF(p^n)是多項式x^q-x=x^(p^n)-x在其所含素域F_p上的分裂域。
定理：有限域F的非零元素做成的乘羣是一個循環羣。
由此定理可知，任何有限域均可表示成F_q={0,1,a,…,a^(q-2)}，因而F_q是其素域F_p的一個單擴域，這
樣的a稱爲q階有限域F_q的一個原根，它是素域F_p上n次代數元。
定理：對有限域F_p^n和n的每一個正因子m，存在且只存在一個p^m階子域。
12階循環環(加法羣是C_12)有T(12)=|{1,2,3,4,6,12}|=6個
12階非循環環(加法羣是C_2×C_2×C_3)有22-6=16個
問題：把22種12階環構造出來？
 
Z/8Z是一個交換局部環,J(Z/8Z)={0,2,4,8}=(2)
R={{{a,b,c},{0,a,0},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8階交換局部環
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4a
R’={{{a,0,c},{0,a,b},{0,0,a}}|a,b,c∈Z/2Z}<=M_3(Z/2Z)是8階交換局部環
C_2×C_2×C_2——>R8_C2C2C2_28_4b
R=R'
 
14種16階羣的結構與表示
【
一個羣G的秩rank(G)，是G的各個生成集合中最小的勢，也就是
rank(G)=min{|X|:X{<=}G,<X>=G}
若G是有限生成羣，則G的秩是非負整數。
羣的秩這個羣論概念，相似於向量空間的維數。事實上，若是P是p-羣，那麼羣P的秩，等於向量空間P/Φ(P)的維數，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子羣。
例子
對非平凡羣G，rank(G)=1當且僅當G是循環羣。
對自由阿貝爾羣Z^n，有rank(Z^n)=n。
若G是有限非阿貝爾單羣，則rank(G)=2。這是從有限單羣分類得出的結果。
若G是有限生成羣，Φ(G)≤G是G的弗拉蒂尼子羣（Φ(G)必定是G的正規子羣，故此商羣G/Φ(G)可定義），則rank(G) = rank(G/Φ(G))。
若G=<x_1,…,x_n|r=1>是單關係元羣，r不是自由羣F(x1,..., xn)的本原元，即r不在F(x1,..., xn)的某個自由基以內，則rank(G)=n。
】
http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/16gps/index.html
http://users.minet.uni-jena.de/~green/Coho_v3/index.html
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Groups_of_order_16
http://escarbille.free.fr/group.php
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/grouptables1.html 16階非Abel羣有9個：D_8,P_2,Q_16,D_4×C_2,P_5,Q_8×C_2,P_7,P_8,P_9 注意：16階Abel羣G16_4和16階非Abel羣G16_六、G16_14有相同的羣元階數分佈，16階Abel羣G16_2和16階非Abel羣G16_七、G16_13，16階Abel羣G16_3和16階非Abel羣G16_8有相同的羣元階數分佈，但這3組16階羣顯然不一樣構 GAP4[16,1]=G16_1=C_16有1個1階元，1個2階元，2個4階元，4個8階元，8個16階元 GAP4[16,2]=G16_2=C_4×C_4有1個1階元，3個2階元，12個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8有1個1階元，3個2階元，4個4階元，8個8階元，0個16階元 GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4有1個1階元，7個2階元，8個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,14]=G16_5=C_2×C_2×C_2×C_2有1個1階元，15個2階元，0個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,3]=Rank=2非Abel冪零羣G16_6=K8C2有1個1階元，7個2階元，8個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,4]=Rank=2非Abel冪零羣G16_7=C4C4有1個1階元，3個2階元，12個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,6]=G16_8=M_16有1個1階元，3個2階元，4個4階元，8個8階元，0個16階元 GAP4[16,7]=G16_9=D_8有1個1階元，9個2階元，2個4階元，4個8階元，0個16階元 GAP4[16,8]=G16_10=QD_16有1個1階元，5個2階元，6個4階元，4個8階元，0個16階元 GAP4[16,9]=G16_11=Q_16有1個1階元，1個2階元，10個4階元，4個8階元，0個16階元 GAP4[16,11]=G16_12=D_4×C_2有1個1階元，11個2階元，4個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,12]=Rank=3非Abel冪零羣G16_13=Q_8×C_2有1個1階元，3個2階元，12個4階元，0個8階元，0個16階元 GAP4[16,13]=Rank=3非Abel冪零羣G16_14=Cb8C2=P有1個1階元，7個2階元，8個4階元，0個8階元，0個16階元 gap> G:=SmallGroup(16,3);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od; <pc group of size 16 with 4 generators> [ 16, 3 ] 2 [ 1, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 4 ] [ 1, 2, 4, 8, 16 ] 1,7,8,0,0, gap> G:=SmallGroup(16,13);IdGroup(G);RankPGroup(G);L:=List(Elements(G),Order);M:=[1,2,4,8,16];for i in M do Print(Size(Positions(L,i)),","); od; <pc group of size 16 with 4 generators> [ 16, 13 ] 3 [ 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 4, 2 ] [ 1, 2, 4, 8, 16 ] 1,7,8,0,0, 問題：求16階羣GAP4[16,7]=O_2(F_7)=D_8的子羣。 O(2,7)有1個1階元(e=1,0,0,1)，9個2階元(x=0,1,1,0,a^4=6,0,0,6,xa=5,2,2,2,xa^2=6,0,0,1,xa^3=5,5,5,2,xa^4=0,6,6,0,xa^5=2,5,5,5,xa^6=1,0,0,6,xa^7=7=2,2,2,5)，2個4階元(a^2=0,1,6,0,a^6=0,6,1,0)，4個8階元 (a=2,2,5,2,a^3=5,2,5,5,a^5=13=5,5,2,5,a^7=2,5,2,2)，0個16階元 e=1,x=2,a=8 a^2=3=0,1,6,0 a^4=3*3=16=6,0,0,6 a^3=12=5,2,5,5 a^5=13=5,5,2,5 a^6=4=0,6,1,0 a^7=9=2,5,2,2 xa=2*8=11=5,2,2,2 xa^2=11*8=15=6,0,0,1 xa^3=15*8=14=5,5,5,2 xa^4=14*8=5=0,6,6,0 xa^5=5*8=10=2,5,5,5 xa^6=10*8=6=1,0,0,6 xa^7=6*8=7=2,2,2,5 在這16個正交矩陣中，行列式值爲1的正交矩陣有8個：e=1,a^2=3,a^6=4,a=8,a^7=9,a^3=12,a^5=13,a^4=16；行列式值爲-1的正交矩陣有8個：除a^4以外的8個2階元。 D_8=<a,x|a^8=x^2=e,xax^(-1)=a^-1> D_4=<b=a^2,x|b^4=a^8=x^2=e,xa^2x^(-1)=(a^2)^-1>={e,a^2,a^4,a^6,x,xa^2,xa^4,xa^6} 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 1 8 5 6 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 1 2 3 6 7 8 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 7 8 5 4 1 2 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 5 6 7 2 3 4 1 1 4 2 4 2 2 2 2