如何計算某一天是星期幾

星期制度是一種有古老傳統的制度。聽說由於《聖經·創世紀》中規定上帝用了六
天時間創世紀，第七天休息，因此人們也就以七天爲一個週期來安排本身的工做和生
活，而星期日是休息日。從實際的角度來說，以七天爲一個週期，長短也比較合適。所
以儘管中國的傳統工做週期是十天（好比王勃《滕王閣序》中說的「十旬休暇」，便是
指官員的工做每十日爲一個週期，第十日休假），但後來也採起了西方的星期制度。

　　在平常生活中，咱們經常遇到要知道某一天是星期幾的問題。有時候，咱們還想知
道歷史上某一天是星期幾。一般，解決這個方法的有效辦法是看日曆，可是咱們總不會
隨時隨身帶着日曆，更不可能隨時隨身帶着幾千年的萬年曆。假如是想在計算機編程中
計算某一天是星期幾，預先把一本萬年曆存進去就更不現實了。這時候是否是有辦法通
過什麼公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？

　　答案是確定的。其實咱們也經常在這樣作。咱們先舉一個簡單的例子。好比，知道
了2004年5月1日是星期六，那麼2004年5月31日「世界無煙日」是星期幾就不難推算出
來。咱們能夠掰着指頭從1日數到31日，同時數星期，最後能夠數出5月31日是星期一。
其實運用數學計算，能夠不用掰指頭。咱們知道星期是七天一輪迴的，因此5月1日是星
期六，七天以後的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數。一樣，5月15
日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是1四、21和28，也
都是7的倍數。那麼5月31日呢？31-1=30，雖然不是7的倍數，可是31除以7，餘數爲2，
這就是說，5月31日的星期，是在5月1日的星期以後兩天。星期六以後兩天正是星期一。

　　這個簡單的計算告訴咱們計算星期的一個基本思路：首先，先要知道在想算的日子
以前的一個肯定的日子是星期幾，拿這一天作爲推算的標準，也就是至關於一個計算的
「原點」。其次，知道想算的日子和這個肯定的日子之間相差多少天，用7除這個日期
的差值，餘數就表示想算的日子的星期在肯定的日子的星期以後多少天。若是餘數是
0，就表示這兩天的星期相同。顯然，若是把這個做爲「原點」的日子選爲星期日，那
麼餘數正好就等於星期幾，這樣計算就更方便了。

　　可是直接計算兩天之間的天數，仍是難免繁瑣。好比1982年7月29日和2004年5月
1日之間相隔7947天，就不是一會兒能算出來的。它包括三段時間：一，1982年7月29
日之後這一年的剩餘天數；二，1983-2003這二十一個全年的所有天數；三，從2004年
元旦到5月1日通過的天數。第二段比較好算，它等於21*365+5=7670天，之因此要加
5，是由於這段時間內有5個閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，好比第三段，須要把
5月以前的四個月的天數累加起來，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第
一段須要把7月以後的五個月的天數累加起來，再加上7月剩下的天數，一共是155天。
因此總共的相隔天數是122+7670+155=7947天。

　　仔細想一想，若是把「原點」日子的日期選爲12月31日，那麼第一段時間也就是一個
全年，這樣一來，第一段時間和第二段時間就能夠合併計算，全年的總數正好至關於兩
個日子的年份差值減一。若是進一步把「原點」日子選爲公元前1年12月31日（或者天文
學家所使用的公元0年12月31日），這個全年的總數就正好是想算的日子的年份減一。這
樣簡化以後，就只須計算兩段時間：一，這麼多全年的總天數；二，想算的日子是這一
年的第幾天。巧的是，按照公曆的年月設置，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是
星期日，也就是說，這樣算出來的總天數除以7的餘數正好是星期幾。那麼如今的問題就
只有一個：這麼多全年裏面有多少閏年。這就須要瞭解公曆的置閏規則了。

　　咱們知道，公曆的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在
2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。所以，像1600、2000、2400
年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公曆也是閏年。

　　所以，對於從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的全部全年
中的閏年數，就等於

[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，

[...]表示只取整數部分。第一項表示須要加上被4整除的年份數，第二項表示須要去掉
被100整除的年份數，第三項表示須要再加上被400整除的年份數。之因此Y要減一，這
樣，咱們就獲得了第一個計算某一天是星期幾的公式：

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)

其中D是這個日子在這一年中的累積天數。算出來的W就是公元前1年（或公元0年）12月
31日到這一天之間的間隔日數。把W用7除，餘數是幾，這一天就是星期幾。好比咱們來
算2004年5月1日：

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + 
(31+29+31+30+1) = 731702

，

731702 / 7 = 104528……6，餘數爲六，說明這一天是星期六。這和事實是符合的。

　　上面的公式(1)雖然很準確，可是計算出來的數字太大了，使用起來很不方便。仔
細想一想，其實這個間隔天數W的用數僅僅是爲了獲得它除以7以後的餘數。這啓發咱們是
不是能夠簡化這個W值，只要找一個和它餘數相同的較小的數來代替，用數論上的術語
來講，就是找一個和它同餘的較小的正整數，照樣能夠計算出準確的星期數。

　　顯然，W這麼大的緣由是由於公式中的第一項(Y-1)*365太大了。其實，

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) 
= (Y-1) * (7*52+1) 
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)

，

這個結果的第一項是一個7的倍數，除以7餘數爲0，所以(Y-1)*365除以7的餘數其實就
等於Y-1除以7的餘數。這個關係能夠表示爲：

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．

其中，≡是數論中表示同餘的符號，mod 7的意思是指在用7做模數（也就是除數）的情
況下≡號兩邊的數是同餘的。所以，徹底能夠用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣咱們就獲得
了那個著名的、也是最多見到的計算星期幾的公式：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)

　　這個公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，由於累積天數D的計算也比較麻
煩。是否是能夠用月份數和日期直接計算呢？答案也是確定的。咱們不妨來觀察一下各
個月的日數，列表以下：

月　　份：1月　2月　　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月 
-------------------------------------------------------------------------- 
天　　數： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

若是把這個天數都減去28（=4*7），不影響W除以7的餘數值。這樣咱們就獲得另外一張
表：

月　　份：1月　2月　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月 
------------------------------------------------------------------------ 
剩餘天數： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 
平年累積： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 
閏年累積： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30

仔細觀察的話，咱們會發現除去1月和2月，3月到7月這五個月的剩餘天數值是3,2,3,2,
3；8月到12月這五個月的天數值也是3,2,3,2,3，正好是一個重複。相應的累積天數中，
後一月的累積天數和前一月的累積天數之差減去28就是這個重複。正是由於這種規律的
存在，平年和閏年的累積天數能夠用數學公式很方便地表達：

╭ d；　　　　　　　　　　　　　　　 　（當M＝1） 
D = { 31 + d；　　　　　　　　　 　　 （當M＝2） 　　　　　　　　　 (3) 
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i．　 （當M≥3）

其中[...]仍表示只取整數部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數；平年i=0，閏年
i=1。對於M≥3的表達式須要說明一下：[13(M+1)/5]-7算出來的就是上面第二個表中的
平年累積值，再加上(M-1)28就是想算的日子的月份以前的全部月份的總天數。這是一
個很巧妙的辦法，利用取整運算來實現3,2,3,2,3的循環。好比，對2004年5月1日，有：

D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 = 122，

這正是5月1日在2004年的累積天數。

　　假如，咱們再變通一下，把1月和2月當成是上一年的「13月」和「14月」，不只仍
然符合這個公式，並且由於這樣一來，閏日成了上一「年」（一共有14個月）的最後一
天，成了d的一部分，因而平閏年的影響也去掉了，公式就簡化成：

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)

上面計算星期幾的公式，也就能夠進一步簡化成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 
+ (M-1) * 28 + d

．

由於其中的-7和(M-1)*28兩項均可以被7整除，因此去掉這兩項，W除以7的餘數不變，
公式變成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

固然，要注意1月和2月已經被當成了上一年的13月和14月，所以在計算1月和2月的日子
的星期時，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。好比，2004年1月1日是星期四，用這
個公式來算，有：

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] 
+ 1 
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 
= 2524； 
2524 / 7 = 360……4

．這和實際是一致的。

　　公式(5)已是從年、月、日來算星期幾的公式了，但它還不是最簡練的，對於年
份的處理還有改進的方法。咱們先來用這個公式算出每一個世紀第一年3月1日的星期，列
表以下：

年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) 
-------------------------------------------------------------------- 
星期：　4 2 
==================================================================== 
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) 
-------------------------------------------------------------------- 
星期： 0 5

能夠看出，每隔四個世紀，這個星期就重複一次。假如咱們把301(701,1101,…,2301)
年3月1日的星期數當作是-2（按數論中對餘數的定義，-2和5除以7的餘數相同，因此可
以作這樣的變換），那麼這個重複序列正好就是一個4,2,0,-2的等差數列。據此，咱們
能夠獲得下面的計算每一個世紀第一年3月1日的星期的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)

式中，C是該世紀的世紀數減一，mod表示取模運算，即求餘數。好比，對於2001年3月
1日，C=20，則：

W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 
= 8 - 4 
= 4

．

　　把公式(6)代入公式(5)，通過變換，可得：

(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 
(mod 7)

． (7)

所以，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]這四項，在計算
每一個世紀第一年的日期的星期時，能夠用(4 - C mod 4) * 2 - 1來代替。這個公式寫
出來就是：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)

有了計算每一個世紀第一年的日期星期的公式，計算這個世紀其餘各年的日期星期的公式
就很容易獲得了。由於在一個世紀裏，末尾爲00的年份是最後一年，所以就用不着再考
慮「一百年不閏，四百年又閏」的規則，只須考慮「四年一閏」的規則。仿照由公式(1)
簡化爲公式(2)的方法，咱們很容易就能夠從式(8)獲得一個比公式(5)更簡單的計算任意
一天是星期幾的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)

式中，y是年份的後兩位數字。

　　若是再考慮到取模運算不是四則運算，咱們還能夠把(4 - C mod 4) * 2進一步改寫
成只含四則運算的表達式。由於世紀數減一C除以4的商數q和餘數r之間有以下關係：

4q + r = C，

其中r便是 C mod 4，所以，有：

r = C - 4q 
= C - 4 * [C/4]

． (10)

則

(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4] 
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)

． (11)

把式(11)代入(9)，獲得：

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)

這個公式由世紀數減1、年份末兩位、月份和日數便可算出W，再除以7，獲得的餘數是
幾就表示這一天是星期幾，惟一須要變通的是要把1月和2月當成上一年的13月和14月，
C和y都按上一年的年份取值。所以，人們廣泛認爲這是計算任意一天是星期幾的最好的
公式。這個公式最先是由德國數學家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推導出的，所以通稱爲蔡勒公式（Zeller’s Formula）。爲方便口算，
式中的[13 * (M+1) / 5]也每每寫成[26 * (M+1) / 10]。

　　如今仍然讓咱們來算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
公式，有：

W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 
= -15

．

注意負數不能按習慣的餘數的概念求餘數，只能按數論中的餘數的定義求餘。爲了方便
計算，咱們能夠給它加上一個7的整數倍，使它變爲一個正數，好比加上70，獲得55。
再除以7，餘6，說明這一天是星期六。這和實際是一致的，也和公式(2)計算所得的結
果一致。

　　最後須要說明的是，上面的公式都是基於公曆（格里高利曆）的置閏規則來考慮
的。對於儒略曆，蔡勒也推出了相應的公式是：

W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)

　　這樣，咱們終於一勞永逸地解決了不查日曆計算任何一天是星期幾的問題。