有關排列組合的一道算法題

有關排列組合的一道算法題

1、題目內容

廢話很少說，先上題目：

有一個 n × m 的網格，左下角爲A，右上角爲B，規定每次只能走一步，而且方向只能是向上或者向右，求A到B共有多少種走法？(例如一個日字形的格子就是一個2 × 1的網格，共有3種走法)並用Javascript寫出程序算法。

你們能夠先思考一下怎麼作，再去看個人方法。

2、解決方法

這個問題我想了好久，一直在走彎路，其實用一個抽象的數學方法就能夠很輕鬆解決這個問題。

如今你能夠把向右移動想象成記錄一個數字1，把向上移動抽象成記錄一個數字0，而且這些數字是按順序排列的。

看到這裏我相信聰明的小夥伴已經想到了如何解決這個問題。

這個問題能夠抽象成n個0和m個1的不一樣排列的總數。好比2 × 2的網格就是2個0和2個1的全部不一樣排列的數量，也就是1100，1010，1001，0110，0101，0011。

進而，咱們能夠把問題抽象成從(m + n)個0中，隨意抽取m個0並將它改成1的不一樣方法數，是否是以爲問題很熟悉，沒錯！就是高中的排列組合。我先把公式亮出來?：

C(m, n + m) = (n + m)!/(m! * n!)

想先複習一下排列組合知識的同窗能夠參見下一節。

3、Javascript代碼描述

以上的結果用JS的描述，以下：

function getMethods(n, m) {
  // 定義一個求階乘的輔助函數
  function factorial(x) {
    if (x === 0) {
      return 1
    } else {
      return factorial(x -1) * x
    }
  }
  return factorial(m + n)/(factorial(m) * factorial(n))
}

若是小夥伴有好的算法，能夠留言交流！

4、排列組合

簡單地講一下排列和組合。

排列

先舉個栗子（如下n，m均爲正整數），從n個含有標有不一樣數字小球的袋子裏，按順序抽取n個小球，且抽取後再也不放入袋子裏。第一次抽的時候，有n種可能；第二次抽的時候有n - 1種可能，以此類推，抽完n個小球總共的不一樣排列個數爲n!。

若是條件不變，只把抽取的小球個數改成m（m <= n）個，結果也就變成：

n × (n - 1) × (n - 2) × ... × (n - m + 1)
整理一下即：
A(m, n) = n! / (n - m)!

組合

一樣是n個標記不一樣數字的小球放入一個袋子中，也是抽取m個，可是此時不算抽取的順序。也就是把排列的結果n!/(n - m)!再除以m個小球隨機排列的總方法術，即m!，因此結果爲：

C(m, n) = A(m, n) / m! = n! / ( (n - m)! × m! )

如何得出以前的公式

運用以上的知識，能夠總結出如下公式：

C(m, n + m) = A(m, n + m) / m!

            = (n + m)! / ( n! × m! )