量子傅里葉變換

時間 2020-03-15

標籤量子傅里葉變換简体版

原文原文鏈接

傅里葉變換

前文中咱們瞭解了Hadamard變換，本文將要介紹傅里葉變換。html

傅里葉變換的使用方式和Hadamard變換很是相似。算法

a圖你們應該不陌生了，這個就是咱們在簡單的量子算法(二)：Simon's Algorithm中介紹的Simon‘s algorithm，而b圖，只是把這個電路中的Hadamard門變成量子傅里葉，就成了一個能夠period finding的電路。而period finding是Shor算法的基礎。函數

那麼傅里葉白變換的矩陣表示長什麼樣子呢？spa

一個N比特的傅里葉是這樣的：htm

\[QFT_N= \frac{1}{\sqrt N}\left[ \begin{array}{}{1} &{1}&1&…&1 \\ 1&{\omega} &{\omega^2} &{…} &{\omega^{N-1}} \\ 1&{\omega^2} &{\omega^4} &{…} &{\omega^{2*(N-1)}} \\… \\ 1&{\omega^{N-1}} &{\omega^{(N-1)*2}} &{…} &{\omega^{(N-1)*(N-1)}}\end{array}\right]\]blog

其中 $\omega =e^{\frac{2 \pi i}{N}} =\cos \frac{2 \pi}{N}+i \sin \frac{2 \pi}{N}$ip

第i行j列的就是 $\omega ^{ij}$ ,須要注意的是，這裏的ij都是從零開始計數。get

說這麼麻煩，$\omega,\omega^2, \omega^3,…,\omega^{N}$ 其實就是 $x^N=1$ 的N個解。it

那麼這個 $ \omega $ 又有什麼特殊之處呢？io

若是咱們令:
$x=e^{\theta_1 i} =\cos \theta_1 +i \sin \theta_1 $

$y=e^{\theta_2 i} =\cos \theta_2 +i \sin \theta_2 $

那麼，

\[\begin{align}x*y&=(\cos \theta_1 +i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 +i \sin \theta_2) \\ &= \cos \theta_1 cos\theta_2+ isin\theta_1\cos \theta_2 +i\cos \theta_1\sin \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 \\ &=cos(\theta_1+\theta_2)+sin(\theta_1+\theta_2) \\&=e^{i(\theta_1+\theta_2)} \end{align}\]

是以，$\omega$的相乘，表達出來是 $\theta$ 的相加。

若是讓 $\theta_1= 2 \pi /N$ ，那麼$\omega,\omega^2, \omega^3,…,\omega^{N}$ 所對應的 $\theta$ 就正好是 $\theta_1,\theta_1*2,\theta_1*3,\theta_1*4,…,,\theta_1*N$。

正巧是一個圓裏等分的幾個。

一些和w有關的有趣事實：

$1+\omega+\omega^2+\omega^3+…++\omega^{N-1}=0$ （由於把他們加在一塊兒至關因而一個圓裏的幾個等分點加在一塊兒，正好回到了原點）
$1+\omega^j+\omega^{2*j}+\omega^{3*j}+…++\omega^{(N-1)*j}$ 爲0 若是 $j \neq 0$ 爲N 若是$j=0$
$\frac{\omega^{nj}-1}{\omega^j-1}=0 (j \neq0)$
$\omega$ 的共軛轉置是 $\omega^{-1}$

量子傅里葉變換和普通的傅里葉變換有有什麼區別呢？

量子傅里葉變換更快

簡單裏離散傅里葉變換，須要的時間是 $N^2$

快速傅里葉變換的是 $N\log N$

而量子傅里葉是 $n^2= \log^2N$

量子變換的兩個有趣性質

量子傅里葉的電路圖以下圖，輸入是 $\sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i |i\rangle$ 輸出是 $\sum_{i=0}^{N-1} \beta_i |i\rangle$

Convolution-Multiplication

若是咱們輸入的量子態的機率幅爲 $\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,…, \alpha_{N-1}$ ，輸出的量子態的機率幅爲 $\beta_0 , \beta_1, \beta_2, \beta_3,…, \beta_{N-1}$

則，當咱們將輸入的機率幅變爲：$\alpha_{N-},\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_{N-2}$ 輸出的機率不變。(這裏寫得是機率，不是機率幅，機率是機率幅的平方)

why?

本來的輸入他們對應的輸出是這樣的

$\beta_0=\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2+…+\alpha_{N-1}$

$\beta_1=\alpha_0+\omega\alpha_1+\omega^2\alpha_2+…+\omega^{N-1}\alpha_{N-1}$

$\beta_i=\sum_j \omega^{ij} \alpha_j$

當咱們改變的咱們輸入的順序後

\[\beta_0’=\alpha_{N-1}+\alpha_0+\alpha_1+…+\alpha_{N-2}\]

$\begin{align}\beta_1'&=\alpha_{N-1}+\omega \alpha_0+ \omega^2 \alpha_1+\omega^3\alpha_2+…+\omega^{N-1}\alpha_{N-2}\\ &= \omega^{N}\alpha_{N-1}+\omega \alpha_0+ \omega^2 \alpha_1+\omega^3\alpha_2+…+\omega^{N-1}\alpha_{N-2} \\ &= \omega(\alpha_0+\omega\alpha_1+\omega^2\alpha_2+…+\omega^{N-1}\alpha_{N-1}) \\&= \omega \beta_1 \end{align}$

在等式的第二步之因此能直接在$\alpha_{N-1}$前面加上一個$\omega^N$ ，是由於 $\omega^N=1$

$\beta_1$彷佛和$\beta_1'$長得不同，他們中間還差了一個$\omega$，可是前面咱們說了，$\omega$是 $x^N=1$的解，則，這兩個的平方是同樣的，即，他們的機率是同樣的。

機率同樣意味着什麼？

意味着，當咱們把個人輸入數據shift後，我在後面的測量獲得每種結果的可能性是同樣的。

periodic function

傅里葉變換能夠改變周期函數的週期，以下圖：

不過比起a圖，咱們更喜歡b圖的週期，只在週期處有值，其他處的機率爲0，且全部週期處的機率是相等的。

那麼QFT真的能作到這一點嗎？

證實：

個人輸入是 $\sqrt{\frac{r}{M}}\sum_{j=0}^{\frac{M}{r}-1}|j*r\rangle$

只有在r的整數倍的地方纔有值，因此有機率的只有$|j*r\rangle$ ,由於這些值是平均的，機率的總值爲1，一共有值的地方有$M/r$個，因此每一個地方的機率都是 $r/M$ ,又由於這裏是機率幅，因此這裏提到前面的是 $\sqrt{\frac{r}{M}}$ 。

傅里葉矩陣，在前面咱們已經提到，在矩陣前有一個係數$\sqrt{\frac{1}{M}}$ ,矩陣裏第i行j列的就是 $\omega ^{ij}$ 。

若是咱們要求 $\beta_{k \frac{M}{r}}$ 的值怎麼算？

M/r是$\beta$ 的週期，前面的k是第幾個週期的計數，$k \frac{M}{r}$對應的，也就是$\omega$的i, $\omega$的j是第幾列的意思，這裏是j*r

$\begin{align}\beta_{k \frac{M}{r}}=&\sqrt{\frac{r}{M}} *\sqrt{\frac{1}{M}} \sum_{j=0}^{\frac{M}{r}-1} \omega^{k\frac{M}{r}j*r}\\&= \frac{\sqrt{r}}{M}\sum_{j=0}^{\frac{M}{r}-1} \omega^{k*M*j} \\ &=\frac{\sqrt{r}}{M}\sum_{j=0}^{\frac{M}{r}-1} 1^{k*j} \\ &= \frac{\sqrt{r}}{M} *\frac{M}{r} \\ &= \frac{1}{\sqrt{r}}\end{align}$

M就是先前的N，因此 $\omega^M=1$ 。

綜上，咱們可知，$\beta$在週期處的值都相等。

那麼爲何，其餘地方的也都是0呢？

能夠直接去推一推，會抵消，也能夠這麼想，在週期處的機率爲1/r，而週期處一共有r個，因爲機率和爲1，那麼其餘地方必然沒有機率。

ps:你們有畫示意圖比較方便的軟件嗎？感受本身ppt繪圖能畫死在這

參考資料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 9