算法的時間複雜度和空間複雜度

算法的時間複雜度和空間複雜度

博客說明

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算法的時間複雜度

時間頻度

一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪一個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。

時間複雜度

通常狀況下，算法中的基本操做語句的重複執行次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，如有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n) / f(n) 的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記做 T(n)=Ｏ( f(n) )，稱Ｏ( f(n) ) 爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

計算時間複雜度的方法

• 用常數1代替運行時間中的全部加法常數
• 修改後的運行次數函數中，只保留最高階項
• 去除最高階項的係數

常見的時間複雜度

常數階O(1)

不管代碼執行了多少行，只要是沒有循環等複雜結構，那這個代碼的時間複雜度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
i++;
j++;

上述代碼在執行的時候，它消耗的時候並不隨着某個變量的增加而增加，那麼不管這類代碼有多長，即便有幾萬幾十萬行，均可以用O(1)來表示它的時間複雜度。

對數階O(log2n)

int i = 1;
while(i<n){
	i = i * 2;
}

在while循環裏面，每次都將 i 乘以 2，乘完以後，i 距離 n 就愈來愈近了。假設循環x次以後，i 就大於 2 了，此時這個循環就退出了，也就是說 2 的 x 次方等於 n，那麼 x = log2n也就是說當循環 log2n 次之後，這個代碼就結束了。所以這個代碼的時間複雜度爲：O(log2n) 。 O(log2n) 的這個2 時間上是根據代碼變化的，i = i * 3 ，則是 O(log3n)

線性階O(n)

for(i = 1; i <= n; i++){
	j = i;
}

這段代碼，for循環裏面的代碼會執行n遍，所以它消耗的時間是隨着n的變化而變化的，所以這類代碼均可以用O(n)來表示它的時間複雜度

線性對數階O(nlog2n)

for(m =1;m<n;m++){
 i = 1;
 while(i<n){
 	i = i * 2;
 }
}

線性對數階O(nlogN) 其實很是容易理解，將時間複雜度爲O(logn)的代碼循環N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方階O(n^2)

for(j=1;j<n;j++){
  for(i=1;i<n;i++){
    m = j+i;
  }
}

平方階O(n²) 就更容易理解了，若是把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間複雜度就是 O(n²)，這段代碼其實就是嵌套了2層n循環，它的時間複雜度就是 O(nn)，即 O(n²) 若是將其中一層循環的n改爲m，那它的時間複雜度就變成了 O(mn)

立方階O(n^3)

三層循環

k次方階O(n^k)

k層循環

指數階O(2^n)

常見的算法時間複雜度大小

由小到大依次爲：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，隨着問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，算法的執行效率越低
從圖中可見，

建議

儘量避免使用指數階的算法

平均時間複雜度和最壞時間複雜度

• 平均時間複雜度是指全部可能的輸入實例均以等機率出現的狀況下，該算法的運行時間。
• 最壞狀況下的時間複雜度稱最壞時間複雜度。通常討論的時間複雜度均是最壞狀況下的時間複雜度。 這樣作的緣由是：最壞狀況下的時間複雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的界限，這就保證了算法的運行時間不會比最壞狀況更長。
• 平均時間複雜度和最壞時間複雜度是否一致，和算法有關

算法的空間複雜度

• 相似於時間複雜度的討論，一個算法的空間複雜度(Space Complexity)定義爲該算法所耗費的存儲空間，它也是問題規模n的函數。
• 空間複雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程當中臨時佔用存儲空間大小的量度。有的算法須要佔用的臨時工做單元數與解決問題的規模n有關，它隨着n的增大而增大，當n較大時，將佔用較多的存儲單元，例如快速排序和歸併排序算法就屬於這種狀況
• 在作算法分析時，主要討論的是時間複雜度。從用戶使用體驗上看，更看重的程序執行的速度。一些緩存產品(redis, memcache)和算法(基數排序)本質就是用空間換時間.

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