劍指Offer（Java版）：數值的整數次方

題目：實現函數double Power(double base,int exponent),求base的exponent次方。不得使用庫函數，同時不須要考慮大數問題

一、自覺得很簡單的解法：

因爲不須要考慮大數問題，這道題看起來很簡單，可能很多應聘者在看到題目30秒後就能寫出以下的代碼：

 

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1. public double powerWithExponent(double base,int exponent){  
2.         double result = 1.0;  
3.         for(int i = 1;i<= exponent;i++){  
4.             result = result*base;  
5.         }  
6.         return result;  
7.     }  

不錯遺憾的是，寫的快不必定就能獲得面試官的青睞，由於面試官會問輸入的指數（exponent）小於1即 是0和負數的時候怎麼辦？上面的代碼徹底沒有考慮，只包括了指數爲正數的狀況。

 

二、全面但不夠高效的解法，咱們離Offer已經不遠了

咱們知道當指數爲負數的時候，能夠先對指數求絕對值，而後算出次方的 結果以後再取倒數。既然有求倒數，咱們很天然的就要想到有沒有可能對0求倒數，若是對0求倒數怎麼辦？當底數base是零且指數是負數的時候，咱們不作特 殊的處理，就會發現對0求倒數從而致使程序運行出錯。怎麼告訴函數的調用者出現了這種錯誤？在Java中能夠拋出異常來解決。

最後須要指出的是，因爲0的0次方在數學上沒有意義的，所以不管是輸出0仍是1都是能夠接收的，但這都須要和麪試官說清楚，代表咱們已經考慮到了這個邊界值了。

有了這些相對而言已經全面不少的考慮，咱們就能夠把最初的代碼修改以下：

1. /** 
2.  * 題目：實現函數double Power(double base,int exponent),求base的exponent次方。不得使用庫函數，同時不須要考慮大數問題 
3.  * 對於這道題，要考慮四種狀況： 
4.  * 一、底數爲0，指數爲負數的狀況，無心義 
5.  * 二、指數爲0，返回1 
6.  * 三、指數爲負數，返回1.0/base,-exponent 
7.  * 四、指數正數，base,exponent 
8.  */

 

package cglib;

public class List1
{  
      public static double power(double base,int exponent) throws Exception{  
            double result = 0.0;  
            if(equal(base,0.0) && exponent<0){  
                throw new Exception("0的負數次冪無心義");  
            }  
            if(equal(exponent,0)){  
                return 1.0;  
            }  
            if(exponent <0){  
                result= powerWithExponent(1.0/base, -exponent);  
            }  
            else{  
                result = powerWithExponent(base,exponent);  
            }  
            return result;  
        }  
        private static double powerWithExponent(double base,int exponent){  
            double result = 1.0;  
            for(int i = 1;i<= exponent;i++){  
                result = result*base;  
            }  
            return result;  
        }  
        //判斷兩個double型數據，計算機有偏差  
        private static boolean equal(double num1,double num2){  
            if((num1-num2>-0.0000001) && (num1-num2<0.0000001)){  
                return true;  
            }else{  
                return false;  
            }  
        }  
        public static void main(String[] args) throws Exception{  
            
            System.out.println(power(3, -1));  
        }
}

 

因爲計算機表示小數（包括float和double型小數）都會有偏差，咱們不能直接用等號（==）判斷兩個小數是否相等。若是兩個小數的差的絕對值很小，好比小於0.0000001，就能夠認爲他們相等。

 

此時咱們考慮得已經很周詳了，已經可以獲得不少面試官的要求了。可是若是咱們碰到的面試官是一個在效率上追求完美的人，那麼他有可能提醒咱們函數PowerWithExponent還有更快的辦法。

三、全面而高效的解法，確保咱們能拿到Offer

若是輸入的指數exponent爲32，咱們在函數 powerWithExponent的循環中須要作31次乘方。但咱們能夠換一種思路考慮：咱們的目標是求出一個數字的32次方，若是咱們已經知道了它的 16次方，那麼只要16次放的基礎上再平方一次就能夠了。而16次方又是8次方的平方。這樣以此類推，咱們求32次方只須要5次乘方：先求平方，在平方的 基礎上求4次方，在4次方的基礎上求8次方，在8次方的基礎上求16次方，最後在16此方的基礎上求32次方。

也就是說咱們能夠利用下面這個公示求a的n次方：

 

這個公式就是咱們前面利用O(logn)時間求斐波那契數列時，討論的公式，這個公式很容易就能用遞歸實現。新的PowerWithExponent代碼以下：

1. private  static  double powerWithExponent2(double base,int exponent){  
2.         if(exponent == 0)  
3.             return 1;  
4.         if(exponent == 1)  
5.             return base;  
6.         double result = powerWithExponent2(base,exponent >>1);  
7.         result *= result;  
8.         if((exponent&0x1) == 1)  
9.             result *=base;  
10.         return result;  
11.     }  

最後再提醒一個細節：咱們用右移運算代替除2，用位與運算符代替了求餘運算符（%)來判斷一個數是奇數仍是偶數。位運算的效率比乘除法及求餘運算的效率要高不少。既然要優化代碼，咱們就把優化作到極致。

最終代碼：

package cglib;

public class List1
{  
      public static double power(double base,int exponent) throws Exception{  
            double result = 0.0;  
            if(equal(base,0.0) && exponent<0){  
                throw new Exception("0的負數次冪無心義");  
            }  
            if(equal(exponent,0)){  
                return 1.0;  
            }  
            if(exponent <0){  
                result= powerWithExponent(1.0/base, -exponent);  
            }  
            else{  
                result = powerWithExponent(base,exponent);  
            }  
            return result;  
        }  
        private static double powerWithExponent(double base,int exponent){  
             if(exponent == 0)  
                 return 1;  
             if(exponent == 1)  
                 return base;  
             double result = powerWithExponent(base,exponent >>1);  
             result *= result;  
             if((exponent&0x1) == 1)//0000011&00000001=00000001,10&01=0
                 {
                 System.out.println("奇數次冪");
                 result *=base;
                 }
                   
             return result;   
        }  
        //判斷兩個double型數據，計算機有偏差  
        private static boolean equal(double num1,double num2){  
            if((num1-num2>-0.0000001) && (num1-num2<0.0000001)){  
                return true;  
            }else{  
                return false;  
            }  
        }  
        public static void main(String[] args) throws Exception{  
            
            System.out.println(power(3, -5));  
        }
}

輸出：

奇數次冪 0.004115226337448559