過三點的圓

目錄

• 圓的通常式
• 基本性質1, 係數肯定
• 基本性質2, 點與圓位置判斷
  • 各點平移\((-x_p,-y_p)\)

做者: 姚彧
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版本	日期	說明
0.1	2019-05-28	建立文檔

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圓的通常式

\(Ax^2+Ay^2 + Dx + Ey + F = 0 (D^2+E^2-4F>0)\)

基本性質1, 係數肯定

在替換位於圓上的三個給定點以後，咱們獲得可由行列式描述的方程組：

\(\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| = 0\)

係數$ A，B，C和D$能夠經過求解如下行列式：

\(A=\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(B=-\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(C=\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & 1 \end{array}\right|\)

\(D=-\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \end{array}\right|\)

基本性質2, 點與圓位置判斷

設\(P(x_p,y_p)\)爲任意一點, 在替換位於圓上的三個給定點以後，咱們獲得行列式：

\(P=\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|\) 式1

\(\left\{\begin{aligned} P=0, 在圓上 \\ P>0, 在圓內\\ P<0, 在圓外 \end{aligned}\right.\)

各點平移\((-x_p,-y_p)\)

得新的\(P(0,0)\), \((x_0, y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2)\)代入式1得

\(P=\left|\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1\\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \end{array}\right|\) 式2

化簡後的計算公式更簡單。