高級數據結構筆記摘要

時間 2019-12-25

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　　今天看了一下高級數據結構（主要是多維數組、廣義表、AVL樹、Splay樹）的內容，AVL樹的部分以前提過了就不講了，參見《紅黑樹和AVL樹》，挑了一些以爲重要或有意思的點寫在這裏，但願有錯誤的地方請不吝指正。html

　　一、三元組存取稀疏矩陣（較多元素爲0），以及使用十字鏈表的方式來記錄稀疏矩陣ios

　　二、注意廣義表中的head、tail兩個概念，以及深度、長度的概念；算法

　　對於L = (x0,x1,…,xn), head(L) = x0，tail(L) = (x1,x2,…,xn)數組

　　三、區分廣義表中的純表、再入表、循環表（深度爲∞）等概念數據結構

　　純表：任何元素（原子/子表）只能出現1次（相似正常的樹結構）spa

　　再入表：表中元素能夠重複出現（相似樹結構中兄弟結點能夠連線）code

　　循環表：表中有迴路，深度爲無窮大htm

　　四、線性表 <= 純表（樹）<= 再入表（兄弟結點之間有連線） <= 圖blog

　　五、最佳BST樹的平均訪問長度，，其中pi表示內部節點的索引頻率，qi表示外部結點的索引頻率，pi/w或者qi/w表示對應的索引機率，要注意的是li + 1和li’之間的區別！其中li和li’都是路徑長度，在等機率條件下能夠獲得 ASL(n) = (2I +3n)/(2n+1)，其中I是內部路徑長度總和，因此要求ASL最小的話儘量地I要小，此時也就是整棵樹要接近徹底二叉樹。注意此處的一個大前提是等機率索引。排序

　　六、在不是等機率訪問的前提下構建最佳BST樹的算法依據是最佳BST樹的子樹仍然是最佳BST樹，因此有最優子結構，所以能夠採用動態規劃的算法進行求解。只要在小區間裏枚舉相應的根節點並取出最小的就能夠了。具體的例子：四個關鍵碼爲B、D、H、F，訪問頻率爲1，5，4，3；且5個外部結點的訪問頻率爲5，4，3，2，1。

　　隨便寫了一個代碼僅供參考：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #define N 100000000
 5 using namespace std;
 6 int n, p[105], q[105], dp[105][105];//p爲內部結點,q爲外部結點,dp[i][j]表示從i~j的代價最小的BST樹 
 7 int sum(int i, int j){
 8     int m = 0;
 9     for(int k = i; k <= j; k++)m += (p[k] + q[k]);
10     return (m + q[i - 1]); 
11 }
12 int main(){
13     cin >> n;
14     for(int i = 1; i <= n ;i++){
15         cin >> p[i];
16     } 
17     for(int i = 0; i <= n; i++){
18         cin >> q[i];
19     }
20     for(int i = 0; i <= n ;i++){
21         for(int j = 0; j <= n; j++){
22             dp[i][j] = N;
23         }
24     }
25     //讀入n個內部節點和n+1個外部結點的訪問頻率 
26     for(int i = 1; i <= n; i++)dp[i][i] = p[i] + q[i - 1] + q[i];//單節點代價 
27     for(int len = 2; len <= n ; len++){
28         for(int s = 1; s + len - 1 <= n; s++){
29             int e = s + len - 1;//dp[s][e]
30             printf("s = %d ,e = %d\n", s, e);
31             for(int root = s; root <= e; root++){//枚舉根節點 
32                 if(root > s && root < e)
33                     dp[s][e] = min(dp[s][e], dp[s][root - 1] + dp[root + 1][e] + sum(s,root - 1) +p[root]+
34                     sum(root + 1, e));
35                 else if(root == s){
36                     dp[s][e] = min(dp[s][e], dp[root + 1][e] + p[root] + q[root - 1] + sum(root + 1,e));
37                 }
38                 else{
39                     dp[s][e] = min(dp[s][e], dp[s][root - 1] + p[root] + q[root] + sum(s,root - 1));
40                 }
41             } 
42         }
43     }
44     return 0;
45 }

　　（原來還有插入代碼這種高級的操做，感謝平臺）

　　七、Trie結構：改變關鍵碼劃分的方式，key一般是字符串，是一種有序樹。基本性質有：1）根節點不包含字符，2）除根節點外每個結點只包含一個字符，3）從根節點到某一結點的路徑上字符鏈接起來獲得該節點的字符串，4）每一個節點的子節點包含的字符串都不同，見下面的圖示：

　　八、在Trie樹中查找結點的效率和樹中包含的結點數量沒有關係，只和待查找的那個字符串的長度有關，這和AVL樹不同，好比一個長度5的字符串「ababa」，在AVL中須要log2(26**5) = 23.5次比較，在trie只要5次比較，可是trie樹是不平衡的，好比t下單詞比z下的單詞多的多，且不利於檢索（26個分支）。應用場所：前綴匹配、詞頻統計、排序。

　　九、因爲數據訪問的規則，大多數的數據並不會被訪問，因此有了伸展樹（一種自組織的數據結構），數據隨檢索而調整位置。是對BST的改進，可是不能保持AVL中的平衡條件。

　　十、訪問一次結點x就把x展開，插入時把x移動到根節點，刪除時把x的父節點移動到根節點。仍是分爲單旋轉和雙旋轉（直接提高），通常來講，一字型旋轉不會改變樹的高度，可是之字形旋轉會把樹的高度減1，更加平衡。

　　十一、伸展樹不能保證每次訪問都是有效率的，也就是訪問多是O(N)的，可是可以保證m次操做總共須要O(mlogN)的，也就是平均代價是O(logN)；嚴格的證實要用到攤還分析的方法，設x爲一棵子樹的根，S(x)爲這棵樹的總共節點數，u(x) = log2(S(x))，當前Splay樹的勢能定義爲全部結點的u(x)之和，分別考慮zig/zag, zigzig/zagzag, zigzag/zagzig這六種操做，實際上考慮三個狀況就行，不難發現每次旋轉都是以c * (u(x’) – u(x)) + 1爲上界，並且只有單純的zig/zag纔會用到1這個值，其他狀況下c = 3就足夠了，因而一次splay能夠證實是O(log2n)的，m次Splay的總攤還代價是O(m*log2n + nlog2n)（後面是由勢能提供的）。