你不知道的按位運算

先來看LeetCode上的Divide Two Integers題目要求：

Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

就是說不用乘法，除法，求模運算來實現兩個整數相除，看起來很簡單，我能夠用除數減去被除數，直到除數小於被除數，記錄減法操做的次數便可。假設是計算m/n，那麼時間複雜度爲O(m/n)。用Python實現後，Time Limit Exceeded。咱們考慮有沒有更加優化的算法呢？

若是很難想獲得，那就先來回憶下二進制數按位運算的一些知識。

二進制數按位運算

計算機裏面全部數據都存儲爲0，1串，全部的運算歸根到底都轉爲二進制數的運算。相信你們都知道二進制數按位運算的規則：

來看一些簡單的例子：

1010 & 1100 = 1000
1010 | 1100 = 1110
1010 ^ 1100 = 0110
1010 << 2   = 101000
1010 >> 2   = 10
~1010       = 0101

單純的二進制位之間的這些運算至關簡單，但對咱們實際編程並無直接幫助，由於編程過程當中須要的常常是數字間的運算，好比 5*(2^4) 。真的是這樣嗎？接着往下看！

計算機中數字的存儲方式

咱們都知道計算機中萬物皆爲0、1，將萬物變爲0、1的過程叫作編碼，這裏咱們只討論將數字編碼爲0、1的過程。

計算機中對數字的表示有三種方式：原碼，反碼，補碼：

• 原碼錶示法在數值前面增長了一位符號位（即最高位爲符號位）：正數該位爲0，負數該位爲1。好比十進制3若是用8個二進制位來表示就是 00000011， -3就是 10000011。

• 反碼錶示方法：正數的反碼是其自己；負數的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其他各個位取反。

• 補碼錶示方法：正數的補碼是其自己；負數的補碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其他各位取反，最後+1。 (即在反碼的基礎上+1)

原碼容易被人腦直接識別並用於計算，可是對於計算機來講並不友好。因此在計算機系統中，數值一概用補碼來表示、運算和存儲。使用補碼，能夠將符號位和數值域統一處理，將加法和減法統一處理。此外，補碼與原碼相互轉換，其運算過程是相同的，不須要額外的硬件電路。詳細的解釋能夠參考原碼, 反碼, 補碼詳解。

數字的按位運算

計算機中數字存儲爲補碼形式，各個數之間的運算也是對它們的補碼作運算，並且獲得的結果也是補碼，以下圖：

各類編程語言都提供了對補碼的二進制位直接進行運算的方法。以Python爲例：

>>> 0b1010 & 0b1100
8   #1000
>>> 0b1010 | 0b1100
14  #1110
>>> 0b1010 ^ 0b1100
6   #0110
>>> 0b1010 << 2
40  #101000
>>> 0b1010 >> 2
2   #10
>>> ~0b1010
-11 #10000000 00000000 00000000 00001011
>>> type(0b1010)
<type 'int'>

上面0b開頭的0、1串表示整型數字，在32位操做系統中，Python中int類型通常佔32個二進制位，以最後一個求反運算爲例子，1010的補碼爲

00000000 00000000 00000000 00001010

求反操做後爲：

11111111 11111111 11111111 11110101

即爲-11(原碼爲：10000000 00000000 00000000 00001011)的補碼。（對一個數的補碼求補碼便可獲得該數的原碼）

另闢蹊徑的按位運算

那麼按位運算在實際編程中能夠扮演哪些角色呢？簡單點地，能夠用來判斷奇、偶數：num & 0x1，或者對一個數變換符號：~num + 1；複雜點的能夠用來交換兩個數，求絕對值等等。

> 不用額外的變量實現兩個數字互換。

def swap(num_1, num_2):
    num_1 ^= num_2
    num_2 ^= num_1
    num_1 ^= num_2
    return num_1, num_2

證實很簡單，咱們只須要明白異或運算知足下面規律：

• 0^a = a;

• a^a = 0;

• a^b^c = a^c^b;

巧妙運用異或能夠高效解決不少問題，好比 找出數組中只出現了一次的數（除了一個數只出現一次外，其餘數都是出現兩次），以及它的升級版：數組中只出現1次的兩個數字(百度面試題)。

> 不用判斷語句來實現求絕對值。

def bit_abs(num):
    negative = num >> 31
    return (num ^ negative) - negative

這裏假設程序運行環境中操做系統爲32位，int型整數(不考慮整數溢出)用32位存儲，所以能夠用 num>>31 取出符號位，後面的部分留給大夥證實。

Leetcode 題目思路

回到文章開始提到的題目中，咱們對除數減去被除數的過程稍做改進。假設求m/n，咱們不一次次的 m-n，而是找到n的一個倍數，使得m-x*n儘量小，這樣能減小循環減法的次數，進而提升效率。咱們知道在按位操做中，n << k至關於 n * 2^k，所以能夠用2^k 來找合適的x。

咱們須要這樣的一個數字k，它使得n 2^k < m < n 2^(k+1)， 而後用m - n*2^k，獲得新的m'。再找相應的k'，作減法，如此循環便可。代碼放在這裏。

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