【數據結構與算法】 Manacher 算法求最長迴文子串

求一個字符串的最長迴文子串是面試中常常出現的一道算法題，所謂的迴文串是：一個字符串正着讀和反着讀是同樣的，那它就是迴文串。下面是一些迴文串的實例。

12321   a    aba    abba    zhiuuihz

對於最長迴文子串問題，最簡單粗暴的辦法是：找到字符串的全部子串，遍歷每個子串以驗證它們是否爲迴文串。一個子串由子串的起點和終點肯定，所以對於一個長度爲n的字符串，共有n^2個子串。這些子串的平均長度大約是n/2，所以這個解法的時間複雜度是O(n^3)。

對於一個比較長的字符串，O(n^3)的時間複雜度顯然是難以接受的。下面要講的Manacher算法可以將O(n^3)降到O(n)。

Manacher算法

首先用一個很是巧妙的方式，將全部可能的奇數/偶數字符串都轉換成了奇數長度：在每一個字符的兩邊都插入一個特殊的符號如#。好比 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。 插入的是一樣的符號，所以子串的迴文性不受影響，原來是迴文的串，插完以後仍是迴文的，原來不是迴文的，依然不會是迴文。

爲了進一步減小編碼的複雜度，能夠在字符串的開始加入另外一個特殊字符，這樣就不用特殊處理越界問題，好比$#a#b#a#（注意，下面的代碼是用C語言寫就，因爲C語言規範還要求字符串末尾有一個'\0'因此正好OK，但其餘語言不加前面特殊符號可能會致使越界）。

下面以字符串12212321爲例，通過上一步，變成了 S[] = "#1#2#2#1#2#3#2#1#";
而後用一個數組 P[i] 來記錄以字符S[i]爲中心的最長迴文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]，也就是把該回文串「對摺」之後的長度），好比S和P的對應關係：

S  # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P  1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 不難看出，P[i]-1正好是原字符串中迴文串的總長度）

以上面紅色的1爲例，以它爲中心的迴文字符串爲# 2#1#2#，該回文串「對摺」之後的長度爲4，所以P數組對應的值爲4。P數組其它值也是這樣計算出的。並且能夠看出，若是P[i]中最大值-1就是原字符串最大回文子串的長度。

如今問題關鍵是怎麼計算P[i]呢？該算法增長兩個輔助變量（其實一個就夠了，兩個更清晰）id和mx，其中 id 爲已知的 {右邊界最大} 的迴文子串的中心，mx則爲id+P[id]，也就是這個子串的右邊界。

而後能夠獲得一個很是神奇的結論，這個算法的關鍵點就在這裏了：若是mx > i，那麼P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是這個串卡了我很是久。實際上若是把它寫得複雜一點，理解起來會簡單不少：

//記j = 2 * id - i，即j是i關於id 的對稱點
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else       // P[j] >= mx - i 
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，以後再匹配更新。

固然光看代碼仍是不夠清晰，仍是藉助圖來理解比較容易。
當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]爲中心的迴文子串包含在以S[id]爲中心的迴文子串中，因爲 i 和 j 對稱，以S[i]爲中心的迴文子串必然包含在以S[id]爲中心的迴文子串中，因此必有 P[i] = P[j]，見下圖。

當 P[j] >= mx - i 的時候，以S[j]爲中心的迴文子串不必定徹底包含於以S[id]爲中心的迴文子串中，可是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]爲中心的迴文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx以後的部分是否對稱，就只能老老實實去匹配了。

對於 mx <= i 的狀況，沒法對 P[i]作更多的假設，只能P[i] = 1，而後再去匹配了。
因而代碼以下：

//輸入，並處理獲得字符串s

int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));

for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) 
{
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]])
    {
        p[i++];
    }

    if (i + p[i] > mx) 
    {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}

//後面就是找出p[i]中最大值

參考文獻：
https://zhuhongcheng.wordpress.com/2009/08/02/a-simple-linear-time-algorithm-for-finding-longest-palindrome-sub-string/

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