Javascript 中 Y 組合子的【再】推導

三載前，吾嘗書 Javascript 中 Y 組合子的推導 。前日，夜半欲眠，突思此物。試無憑而推，竟得。

第二天，觀前文，覺冗長晦澀，故做此文。

Y 組合子的目的

爲了解決匿名函數的調用問題

寫出一個遞歸函數很簡單，以階乘函數爲例：

let F = x => x ? x * F(x-1) : 1;
F(5) //120

但對於匿名函數，沒有變量賦值的狀況下，如何解決上面的問題？
這就用到 Y 組合子。

推導

變量與參數的概念其實很是類似，咱們能夠用參數，替代變量賦值

(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)

咱們只要給 f 這個參數傳這個函數自身，就達到了目的，首先嚐試把函數直接複製一份做爲參數傳入：

(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)

容易發現，若是前半部分中的 f 是後面這個函數:

(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)
//                            ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

那麼 f 接收的參數應該是它自身，像上面 f(x-1) 這樣的調用方式是錯誤的。
咱們把上面的表達式改造一下：

(f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)(f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)
//                 ^^^^                             ^^^^

上面就是咱們的基本形式，能夠開始化簡了。

化簡

首先左右兩大塊是如出一轍的，能夠用一個變量代替:

let a = f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1;
a(a);

還記得上面咱們說的變量賦值 ↔ 參數的關係嗎？咱們將它改造爲函數:

(a => a(a))(f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)

咱們的目標是分離出下面的部分：

(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)

觀察原式，只須要把下面的 f(f) 替換爲 f 就能很方便的提取最後的結果了

(a => a(a))(f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)
//                            ^^^^

易知，對於函數 f, g （咱們這裏討論的全是單參數函數）

1) f 等價於 x => f(x)
2) (x => f(g(x)))(x) 等價於 (x => f(x))(g(x))

運用 1)

(a => a(a))(b => (f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)(b))
//         ^^^^^                                  ^^^

運用 2)

(a => a(a))(b => (f => x => x ? x * f(x-1) : 1)(b(b)))
//         ^^^^^                    ^          ^^^^^

運用 1) 和 2)

(c => (a => a(a))(b => c(b(b))))(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)
//^^^                  ^        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

也就是說，前半部分就是咱們要找的 Y 組合子，即

Y = c => (a => a(a))(b => c(b(b)))

重命名參數

Y = f => (x => x(x))(x => f(x(x)))

嘗試調用

(f => (x => x(x))(x => f(x(x))))(f => x => x ? x * f(x - 1) : 1)(5)

然而，當咱們用上面的式子調用時會爆棧：Maximum call stack size exceeded

惰性求值

下面來解決爆棧問題

還記得

f => (x => x(x))(x => f(x(x)))
//                      ^^^^

是怎麼來的嗎？是咱們從遞歸中 ? 和 : 部分中抽離出來的，是遞歸條件爲真的狀況。遞歸之因此能結束，是由於函數有終止條件。而如今咱們把 x(x) 抽離出來，至關於把遞歸移到了判斷以前，在沒有終止條件的狀況下自身調用自身，最終形成了爆棧。

(a => a(a))(b => (f => x => x ? x * f(f)(x-1) : 1)(b))
//                          ^^  ^^^^^^^^^^^^^   ^
//                          判斷    遞歸       返回

(a => a(a))(b => (f => x => x ? x * f(x-1) : 1)(b(b)))
//                                             ^^^^^
//                                             遞歸

其實由於 js 不是惰性求值的語言，以前的等價代換不徹底正確，
對於 f 和 x => f(x) 它們不是徹底等價，區別是 f 自己若是是表達式，當以 f 的形式出現時，表達式會當即計算值，而若是以 x => f(x) 的形式出現，只有調用時纔會求 f 的值。

運用 1) 的懶求值特性，把

Y = f => (x => x(x))(x => f(x(x)))

改造爲:

Y = f => (x => x(x))(x => f(y => x(x)(y)))
//                          ^^^^^    ^^^

這樣，就獲得了在 js 中可用的 Y 組合子。

Y = f => (x => x(x))(x => f(y => x(x)(y)))

嘗試調用

Y(f => x => x ? x * f(x-1) : 1)(5)
// 120

成功。