二分圖知識點總結

1. 二分圖的概念

2. 二分圖最大匹配

3. 匈牙利算法

4. KM最大匹配算法

5. 最大匹配數：匹配是指兩兩沒有公共點的邊集合。在二分圖中找出一個邊數最大的匹配，即選擇儘可能多的邊，使得任意兩條選中的邊沒有公共點。

6. 最小點覆蓋數：即選擇最少的點，使得每條邊至少有一個點被選擇。

7.最大獨立數：選取儘可能多的點，使得任意兩個點都不相連。

8.最小路徑覆蓋：對於一個有向無環圖，選取最少的路徑，使得每一個定點均屬於一條路徑，路徑長度能夠爲0。

 

定理： 

1。一個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數

König定理是一個二分圖中很重要的定理，它的意思是，一個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。若是你還不知道什麼是最小點覆蓋，我也在這裏說一下：假如選了一個點就至關於覆蓋了以它爲端點的全部邊，你須要選擇最少的點來覆蓋全部的邊。

 

2。最小路徑覆蓋=最小路徑覆蓋＝｜G｜－最大匹配數

 在一個N*N的有向圖中，路徑覆蓋就是在圖中找一些路經，使之覆蓋了圖中的全部頂點，
 且任何一個頂點有且只有一條路徑與之關聯；（若是把這些路徑中的每條路徑從它的起始點走到它的終點，
 那麼剛好能夠通過圖中的每一個頂點一次且僅一次）；若是不考慮圖中存在迴路，那麼往往條路徑就是一個弱連通子集．

由上面能夠得出：

 1.一個單獨的頂點是一條路徑；
 2.若是存在一路徑p1,p2,......pk，其中p1 爲起點，pk爲終點，那麼在覆蓋圖中，頂點p1,p2,......pk再也不與其它的
   頂點之間存在有向邊．

最小路徑覆蓋就是找出最小的路徑條數，使之成爲G的一個路徑覆蓋．

 路徑覆蓋與二分圖匹配的關係：最小路徑覆蓋＝｜G｜－最大匹配數；

3。二分圖最大獨立集=頂點數-二分圖最大匹配

獨立集：圖中任意兩個頂點都不相連的頂點集合。