統計學基礎之方差分析

目錄：（摘自百度百科）

1、基本概念

2、類型：

一、單因素方差分析

二、雙因素方差分析

三、協方差分析

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1、基本概念

方差分析又稱「變異數分析」或「F檢驗」，用於兩個及兩個以上樣本均數差異的顯著性檢驗。

方差分析的基本原理是認爲不一樣處理組的均數間的差異基原本源有兩個：

(1) 實驗條件，即不一樣的處理形成的差別，稱爲組間差別。用變量在各組的均值與總均值之誤差平方和的總和表示，記做SSb，組間自由度dfb。

(2) 隨機偏差，如測量偏差形成的差別或個體間的差別，稱爲組內差別，用變量在各組的均值與該組內變量值之誤差平方和的總和表示， 記做SSw，組內自由度dfw。

總誤差平方和 SSt = SSb + SSw。

組內SSw、組間SSb除以各自的自由度(組內dfw =n-m，組間dfb=m-1，其中n爲樣本總數，m爲組數)，獲得其均方MSw和MSb，一種狀況是處理沒有做用，即各組樣本均來自同一整體，MSb/MSw≈1。另外一種狀況是處理確實有做用，組間均方是因爲偏差與不一樣處理共同致使的結果，即各樣原本自不一樣整體。那麼，MSb>>MSw(遠遠大於)。

MSb/MSw比值構成F分佈。用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來自相同的整體。

 

2、類型：

一、單因素方差分析

　　是用來研究一個控制變量的不一樣水平是否對觀測變量產生了顯著影響。研究單個因素對觀測變量的影響，所以稱爲單因素方差分析。

　　例如，分析不一樣施肥量是否給農做物產量帶來顯著影響，考察地區差別是否影響婦女的生育率，研究學歷對工資收入的影響等。這些問題均可以經過單因素方差分析獲得答案。

　　單因素方差分析的第一步是明確觀測變量和控制變量。例如，上述問題中的觀測變量分別是農做物產量、婦女生育率、工資收入；控制變量分別爲施肥量、地區、學歷。

　　單因素方差分析的第二步是剖析觀測變量的方差。方差分析認爲：觀測變量值的變更會受控制變量和隨機變量兩方面的影響。據此，單因素方差分析將觀測變量總的離差平方和分解爲組間離差平方和和組內離差平方和兩部分，用數學形式表述爲：SST=SSA+SSE。

　　單因素方差分析的第三步是經過比較觀測變量總離差平方和各部分所佔的比例，推斷控制變量是否給觀測變量帶來了顯著影響。

原理：

　　在觀測變量總離差平方和中，若是組間離差平方和所佔比例較大，則說明觀測變量的變更主要是由控制變量引發的，能夠主要由控制變量來解釋，控制變量給觀測變量帶來了顯著影響；反之，若是組間離差平方和所佔比例小，則說明觀測變量的變更不是主要由控制變量引發的，不能夠主要由控制變量來解釋，控制變量的不一樣水平沒有給觀測變量帶來顯著影響，觀測變量值的變更是由隨機變量因素引發的。

基本分析步驟：

一、提出原假設：H0——無差別；H1——有顯著差別

二、選擇檢驗統計量：方差分析採用的檢驗統計量是F統計量，即F值檢驗。

三、計算檢驗統計量的觀測值和機率P值：該步驟的目的就是計算檢驗統計量的觀測值和相應的機率P值。

四、給定顯著性水平，並做出決策

二、雙因素方差分析

　　多因素方差分析用來研究兩個及兩個以上控制變量是否對觀測變量產生顯著影響。研究多個因素對觀測變量的影響，所以稱爲多因素方差分析。多因素方差分析不只可以分析多個因素對觀測變量的獨立影響，更可以分析多個控制因素的交互做用可否對觀測變量的分佈產生顯著影響，進而最終找到利於觀測變量的最優組合。

　　例如：分析不一樣品種、不一樣施肥量對農做物產量的影響時，可將農做物產量做爲觀測變量，品種和施肥量做爲控制變量。利用多因素方差分析方法，研究不一樣品種、不一樣施肥量是如何影響農做物產量的，並進一步研究哪一種品種與哪一種水平的施肥量是提升農做物產量的最優組合。

進一步分析：

一、創建非飽和模型

二、均值比較分析

三、控制變量交互做用的圖形分析

 

三、協方差分析

　　協方差分析將那些人爲很難控制的控制因素做爲協變量，並在排除協變量對觀測變量影響的條件下，分析控制變量（可控）對觀測變量的做用，從而更加準確地對控制因素進行評價。

　　協方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，並在分析觀測變量變差時，考慮了協變量的影響，人爲觀測變量的變更受四個方面的影響：即控制變量的獨立做用、控制變量的交互做用、協變量的做用和隨機因素的做用，並在扣除協變量的影響後，再分析控制變量的影響。

　　方差分析中的原假設是：協變量對觀測變量的線性影響是不顯著的；在協變量影響扣除的條件下，控制變量各水平下觀測變量的整體均值無顯著差別，控制變量各水平對觀測變量的效應同時爲零。檢驗統計量仍採用F統計量，它們是各均方與隨機因素引發的均方比