集合相關概念

 

本章概覽
　　基本概念
　　　　集合與元素
　　集合類型
　　　　有限集合
　　　　無限集合
　　　　　　可數集合
　　　　　　不可數集合
　　　　子集
　　　　空集
　　　　全集
　　集合關係
　　　　集合的相等

 

集合：具備某種特定性質的事物的整體，稱爲集合，簡稱集，如全體正整數集合，全體實數集合

　　

元素：組成集合的事物，稱爲元素，簡稱元

　　　元素a屬於集合A，讀做a屬於A，記做$ a \in A $

　　　元素a不屬於集合A，讀做a不屬於A，記做$ a \notin A $ 

　　

有限集合無限集　　

　　有限集：只含有有限個元素的集合，稱爲有限集，如全體英文字母構成的集合

　　無限集：含有無限個元素的集合，稱爲無限集，如全體整數構成的集合

　　一個集合是無限集的充分必要條件是該集合能夠與它的一個真子集創建一一對應

　　有限集不可能與它的任何子集創建一一對應

　　

可數集與不可數集

　　可數集：能與天然數集N={1,2,3,...n,...}創建一一對應的無限集，稱爲可數集，如天然數集，整數集，有理數集(這3個集合的元素是同樣多的)

　　不可數集：不能與天然數集N={1,2,3,...n,...}創建一一對應的無限集，稱爲不可數集，如無理數集，任何區間(a,b)(a<b)

　　

子集：若是集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集

　　　記做$A \subset B$，讀做A包含於B，或記做$B \supset A $，讀做B包含A

　　　$ A \subset B \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B)$

　　　真子集：若是A是B的子集，且B中至少有一個元素不屬於A，則稱A爲B的真子集，記做$A \subsetneqq B$

 　　

空集：不包含任何元素的集合，稱爲空集，記做$\varnothing$，空集是任何集合A的子集，即$\varnothing$ $\subset A$

　　

全集：所研究的對象的全體，稱爲全集，全集通常記做$U$

　　　全集是一個相對概念，所研究的對象所組成的任何集合A都是全集U的子集，即$A \subset U$

　　　如當研究的對象是全體實數時，可將實數集R做爲全集

 　　

集合的相等：若是集合A和集合B含有徹底相同的元素，則稱A與B相等，記做A=B

　　　　　　A=B的充分必要條件是$A \subset B$且$B \subset A$

 

 

 

　　 

　　

 

集合的表示法

　　列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素

　　　　例：有限集合 $ A = \{ a_{1},a_{2}, …,a_{n} \} $ = $\{{a_{i}\}}_{i=1}^n$

　　　　　　天然數集 $ N = \{ 0,1,2,…, n, … \} = \{ n \}$

　　　　注：$M$爲數集，則

　　　　　　$M^{*}$表示$M$中排除0的集

　　　　　　$M^{+}$表示$M$中排除0與負數的集

　　描述法：$M = \{ x | x所具備的特徵\}$

　　　　例：整數集合 $ Z = \{ x | x \in N\ 或  -\!x \in N^{+} \} $

　　　　　　有理數集 $ Q = \{ \frac{p}{q} | p \in Z , q \in N^{+} , p與q互質 \} $

　　　　　　實數集合 $ R = \{x | x爲有理數或無理數\} $

 

$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & \cos(t) \\ y & = & \sin(t) \\ z & = & \frac xy \end{aligned} \right. $