後綴自動機練習專題

時間 2019-11-09

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後綴自動機練習專題

一些比較有用的東東：

(1) \(\text{sam}\) 上一條從初始狀態出發的路徑對應一個子串html
(2) \(\text{parent}\) 樹上一個節點能表示的最長的串對應一個前綴/後綴算法
(3) \(len(u)\) 表示節點 \(u\) 能表示的最長串的長度優化
(4) \(fa(u)\) 表示節點 \(u\) 的後綴連接指向的節點，也就是其在 \(\text{parent}\) 樹上的父親spa
(5) 表示兩個後綴的公共前綴的節點是兩個後綴在 \(\text{parent}\) 樹上的 \(lca\)指針
(6) \(R(u)\) 表示節點 \(u\) 的 \(\text{right}\) 集合，\(sz(u)\) 表示 \(R(u)\) 的大小，\(R(u) \subset R(fa(u)), sz(u) < sz(fa(u))\)code
(7) 廣義 \(\text{sam}\) 能夠理解爲一個 \(\text{sam}\) 維護多個串，每一次插入完一個串後將 \(tail\) 指針設爲初始狀態htm

SPOJ 1811 Longest Common Substring

給出兩個串 \(s, t\)，求這 \(s, t\) 的最長公共子串，\(|s|, |t| \leq 2.5 \times 10^5\)blog

對於 \(s\) 建 \(\text{sam}\) ，根據 (1) 能夠將 \(t\) 放進 \(\text{sam}\) 匹配，當失配時至關於要要從當前匹配到的串的一個後綴繼續開始匹配，等價於在 \(\text{sam}\) 上跳 \(fa(u)\) 。能夠證實這樣必定能匹配到最長公共子串。字符串

SPOJ 1812 Longest Common Substring II

給出 \(n\) 個串，求這個 \(n\) 個串的最長公共子串，\(1 \leq n \leq 10, |s| \leq 10^5\)get

和上題相似的，仍是取出一個串建 \(\text{sam}\)，能夠求出每個節點被多少個串匹配到了，那麼答案就是 \(\max(len(u))\)，\(u\) 是被 \(n - 1\) 個串匹配到的節點。考慮每一次匹配到某個節點的時候，根據 (6)，其祖先表明的串也會被匹配到，因此每個串匹配完之後還要更新其祖先的匹配次數，暴力向上跳便可。

另一種作法，考慮串數只有 \(10\) ，能夠建一個廣義 \(\text{sam}\) 將全部串放進去，用二進制維護 \(R(u)\) 是否包含來自某個串的後綴，當一個節點包含來自全部串的後綴時，其就能夠對答案產生貢獻。當 \(n\) 比較大的狀況能夠用 \(\text{bitset}\) 或者線段樹合併來維護。

SPOJ 7258 Lexicographical Substring Search

給出一個串 \(s\)，以及\(q\) 次詢問，每次詢問 \(s\) 中第 \(k\) 小的子串，重複的子串僅算一次， \(|s| \leq 9 \times 10^4, q \leq 500\)

能夠不考慮 \(\text{parent}\) 樹，只考慮 (1) ，計算出每個節點向下走能走到的路徑數量。因爲要求的是字典序第 \(k\) 小，每一次二分出從這個節點出發應該走的轉移邊的字符是什麼，向下走便可。這樣作複雜度是 \(O(|s|q)\)，因爲 \(q\) 不大，足以經過此題。

實際上考慮 \(\text{parent}\) 能夠進一步優化算法的複雜度，考慮原先的 \(\text{parent}\) 樹一個節點表明的多個串都是最長的串的一個後綴，是一棵相似於前綴樹的結構，這樣不能適用於一些字典序上優美的性質。不妨將串反序插入到\(\text{sam}\) 中，這樣每個點能表明的多個串都是最長的串的前綴，這些串從長到短在字典序上必定是有序的。擴展到整棵樹上，根據 \(mn(u) = len(fa(u)) + 1\) ，每一個點表明的字符串都比其祖先表明的字符串的字典序大。因而能夠計算出每一棵子樹表明了多少串，在 \(\text{dfn}\) 序上二分答案便可，複雜度是 \(O(qlogn)\)。

「TJOI2015」弦論

給出一個串 \(s\) ，根據題目要求來求出相同子串算一個或多個的第 \(k\) 小子串 \(|s| \leq 5 \times 10^5\)

第一問和上一題徹底等價，考慮第二問的狀況，一個子串在 \(s\) 中的出現次數就是其對應 \(\text{parent}\) 樹節點的 \(\text{right}\) 集合大小，也就是 \(sz(u)\) ，只須要對於每一條路徑把權值爲 \(sz(u)\) 進行統計便可。

Codechef January Challenge 2018 - Killjee and k-th letter

給出一個的串 \(s\)，將 \(s\) 全部子串按照字典序排列好相接起來造成一個新串，\(q\) 次詢問，每一次詢問問新串中的第 \(k\) 個字符是什麼，強制在線。\(|s|, q \leq 2 \times 10^5\)

考慮上上題給基於 \(\text{parent}\) 的作法，反序插入後每一個節點表明的字符串在 \(\text{dfn}\) 序上是有序的，因此只要求出每個節點表明的串的數量，而後對 \(\text{dfn}\) 序進行二分求出答案在哪一個節點表明的子串上。考慮一個子串其所表明的串長度是從 \([len(fa(u))+1,len(u)]\) 連續的，能夠直接求出 \(k\) 對應的子串是從節點 \(u\) 對應的後綴的多少位，查找該位置在原串上的字符便可

Codeforces 873 F. Forbidden Indices

有一個串 \(s\)，\(s\) 的有些位置是非法的，求全部不以非法位置爲結尾的子串 \(a\) ，\(\sum|a|\times tot(a)\) 的值，其中 \(tot(a)\) 表示 \(a\) 在 \(s\) 中的出現次數。\(|s| \leq 2 \times 10^5\)

\(\text{parent}\) 樹上一個節點表明的串的總數就是 \((len(u)-len(fa(u))) \times sz(u)\) ，維護出每個串不含非法位置的 \(\text{right}\) 集合大小後直接求和

「AHOI2013」差別

給出一個串 \(s\) ，對於其全部後綴 \(t_i, t_j\) ，求 \(\sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(lcp(t_i, t_j))\) 的值, \(|s| \leq 5 \times 10^5\)

考慮將串反序插入到 \(\text{parent}\) 樹後，兩個後綴節點的 \(\text{lcp}\) 就是他們的 \(\text{lca}\) ，那麼能夠樹形 \(\text{dp}\) 出以每個節點做爲 \(\text{lca}\) 時獲得的 \(\sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(u)\) ，最後對全部節點求和就是答案

「NOI2015」品酒大會

給出一個串 \(s\) 和一個序列 \(a\) ，對於全部 \(i\) ，求出 \(lcp(x, y) \geq i\) 的方案數以及知足條件的最大的 \(a_x \times a_y\) \(|s| \leq 3 \times 10^5|a_i| \leq 10^9\)

本質上和上一題作法同樣，考慮第一問只須要求出對於每個節點 \(u\) ，在其子樹裏選出兩個節點 \(\text{lca}\) 爲 \(u\) 的方案數便可，第二問稍有複雜，由於權值可正可負，須要分類討論 \(\text{dp}\) 維護最大值和最小值，便於合併相乘時統計答案

「BZOJ3473」字符串 (雙倍經驗=3277)

給出 \(n\) 個字符串，求有多少個子串是其中至少 \(k\) 個字符串的子串，\(\sum|s| \leq 10^5, 1\leq k \leq n\)

創建一個廣義 \(\text{sam}\) ，每次插入一個串後維護一下 \(\text{parent}\) 樹上哪些節點的 \(\text{right}\) 集合已經擁有了來自這個串的後綴，這樣每個新增的插入節點都須要向祖先更新這個信息，根據均值不等式分析，插入全部串的總複雜度是 \(O(|s|\sqrt|s|)\)。

考慮能夠直接用線段樹合併維護每個節點的 \(\text{right}\) 集合有哪些串的後綴，所有建完之後向上合併更新祖先的答案，總複雜度 \(O(|s|log|s|)\)。