腦補一個非有序數組的二分查找算法

本來想寫Base64算法的，不過我仍是想寫點有趣的，而不是Base64這樣沒有什麼思惟難度的模版。在手賤在hihoCoder上看到了一個關於非有序數組的二分查找的題目，要求在非有序的數組上作線性的查找（因而就不能排序了），找到這個數組中第K大的值。作了一個下午，到晚上搞定，終於摳完幾個細節。不過想的過程仍是蠻棒的，這個算法是從快速排序衍生而來的，而從經典算法出發去yy，能讓咱們思考更多經典算法的細節，感覺經典算法的那種美。

快速排序

在講這個二分查找算法的以前咱們仍是先看看它的基礎：快速排序算法。雖然快速排序有不少缺點：它不穩定、難理解、會被奇葩數據拿去卡，但在實踐當中仍是個很快很靠譜的排序算法，比Java和Python所採用的TimSort不知道高到哪裏去了。我以爲做爲一個IT從業者，不能理解快排就好像一箇中國人沒讀過《論語》同樣。
講解快排的文章有不少，任何一本算法書也都不可能不講快排。不過我這裏須要特別闡述一下快排究竟在幹什麼。
基本的觀點是，每一「趟」的快排是針對原來數據的一個區間上進行的。首先在這個區間上隨意取一個值mid，而後遍歷一遍這個區間，使得可以把全部數據中小於等於mid的扔到區間的左部分，大於等於mid的扔到區間的右部分。而後左右分別繼續搞。這麼說太抽象了，咱們拿幾個數據玩玩看：
假設初始的數據是34 10 23 78 56，那麼若是咱們取第一個34爲mid，咱們就要遍歷一遍數組（在O(n)的時間內）變成十、2三、34在左邊，5六、78在右邊。至於十、2三、34它們之間的順序則可有可無，不管是十、2三、34仍是2三、3四、10仍是3四、十、23仍是別的什麼都無論，反正前三個都是小於等於34的，後兩個都是大於等於34的。

其實34也可能在後面一半。這點很是重要，由於這就意味着mid的值位置是不肯定的，若是數據中有多個mid，它可能左右兩部都有分佈。實際上一趟快排結束後，咱們只能保證小於mid的在左邊，大於mid的在右邊，至於mid在哪？不知道。

如今我放一段個人快排實現。我取mid通常是取中間那個位置，正常狀況下是要隨機取，而算法講解的時候通常取第一個。

void Qsort(int l,int r){
    int mid=A[(l+r)/2];
    do{
        while (A[i]<mid) i++;
        while (A[j]>mid) j--;
        if (i<=j){
            int k=A[i];
            A[i]=A[j];
            A[j]=k;
            i++;j--;
        }
    }while (i<=j);
    if (l<j) Qsort(l,j);
    if (i<r) Qsort(i,r);
}

這段程序能保證的是，全部小於mid的都在l～j範圍內，而全部大於mid的都在i到r範圍內。同時j+1到i-1範圍內的（至多一個，多是零個），必定是mid。可是全部是mid的值，位置是不肯定的。

非有序數組的線性查找算法

咱們如今能夠開始想怎麼在非有序的數組裏，避免所有排序整個數組，而找到某個數是第幾大了。由快速排序的算法的思想出發，咱們能夠發現，若是一趟快排結束，那麼咱們每次能把小於mid的扔到區間左邊，大於mid的扔到區間右邊，平均來看，查找範圍就縮小了一半。（固然被卡是可能的，咱們只是尋求一個指望複雜度的較優。）這樣一個算法可以實現，那麼總體複雜度就是
要注意的是i與j之間的差。在上述的快排程序跑過一趟以後，j<i，可是咱們並不肯定j和i中間是否會有一個數。這個數可能有，也可能沒有，必須特殊判斷。最後寫出來的線性查找算法以下：

int Search(int l,int r){
    if (l==r) return A[l];
    int i=l,j=r;
    int mid=A[(l+r)>>1];
    do{
        while (A[i]<mid) i++;
        while (A[j]>mid) j--;
        if (i<=j){
            int k=A[i];
            A[i]=A[j];
            A[j]=k;
            i++;j--;
        }
    }while (i<=j);
    if (j==i-2){
        if (j+1==K) return A[j+1];
    }
    if (K<=j) return Search(l,j);
    if (K>=i) return Search (i,r);
}

我拿了一個用algorithm庫提供的sort函數作的O(NlogN)排序程序作對拍，在N=106的狀況下，不開O2速度快一倍，開了O2快30%左右，效率提高仍是很顯著的。