有向無環圖及其應用: AOV網與拓撲排序 AOE網與關鍵路徑

有向無環圖及其應用:

有向圖是描述工程進行過程的有效工具，幾乎全部的工程均可以分爲若干個「活動」的子工程，每一個活動都會持續一段時間，某些活動之間每每存在必定的約束關係，好比某些活動的開始必須在某些特定活動的結束才能夠運行。
下面對於有向圖咱們進行拓撲排序和關鍵路徑的討論。

AOV網與拓撲排序：

AOV：

在一個表示工程的有向圖中，用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，稱這樣的有向圖爲頂點表示活動的網，簡稱AOV網（activity on vertex network），顯然，AOV網中不能出現迴路，不然意味着某項活動的開始要以本身的完成做爲先決條件，這顯然是不成立的。所以判斷AOV網可否正常進行即判斷它是否存在迴路。測試AOV網是否存在迴路的方法就是對AOV網進行拓撲排序。

拓撲排序：

拓撲序列：設G=(V,E)是一個有向圖，V的頂點序列v0,v1,…vn-1稱爲一個拓撲序列當且僅當知足如下條件:若從頂點vi到vj有一條路徑，則在頂點序列中vi必須存在於vj以前。
對一個有向圖構造拓撲序列的過程稱爲拓撲排序。（不惟一）
過程：

for{
		找出入度爲0（沒有前驅）的頂點輸出;
		刪除(模擬刪除)該點和該點引出的邊;
}

AOE網與關鍵路徑：

AOE：

在一個表示工程的帶權有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，邊上的權值表示活動的持續時間，稱這樣的有向圖爲邊表示活動的網，簡稱AOE網（activity on edge network），AOE網中沒有入邊的頂點稱爲源點，沒有出邊的頂點稱爲終點。

AOE網的兩個性質：

1.只有在進入某頂點的各活動都已經結束，該頂點所表明的事件才能開始發生。
2.只有某頂點所表明的事件發生後，從該頂點出發的各個活動才能開始。
由AOE網的性質知：完成整個工程所需的時間應該爲始點到終點的最大路徑長度（這裏的最大路徑長度是指該路徑上的各個活動所持續的時間之和）。具備最大路徑長度的路徑稱爲關鍵路徑（critical path），關鍵路徑上的活動稱爲關鍵活動（critical activity），關鍵路徑長度是整個工程所需的最短工期，也就是說，要想縮短整個工期，必須加快關鍵活動的進度。

由AOE網的性質引出的幾組定義：

1.事件的最先發生時間ve[k]:

（ve[k]是指從源點到頂點vk的最大路徑長度，這個長度決定了全部從頂點vk發出的活動能夠開始的最先時間）
ve[0]=0;
ve[k]=max{ve[j]+length<vj,vk>}(<vi,vj>屬於p[k])（p[k]表示全部到達vk的有向邊的集合，len<vj,vk>爲有向邊<vi,vj>的權值）

2.事件的最遲發生時間vl[k]：

（vl[k]是指在不推遲整個工期的前提下，時間vk容許的最晚發生時間）
vl[n-1]=ve[n-1]
vl[k]=min{vl[j]-len<vk,vj>}

3.活動ai的最先開始時間ee[i]:

（活動ai的最先開始時間應等於事件vk的最先發生時間。）
ee[i]=ve[k]

4.活動ai的最晚開始時間e[i]：

（e[i]是指在不推遲整個工期的前提下麼活動ai必須開始的最晚時間。）
el[i]=vl[j]-len<vi,vj>

關鍵活動與關鍵路徑的肯定：

根據每一個活動的最先開始時間ee[i]和最晚開始時間el[i]斷定活動是否爲關鍵活動：當ee[i]=el[i]的活動就是關鍵活動，那些el[i]>ee[i]的活動則不是關鍵活動，el[i]-ee[i]的值爲活動的時間餘量，關鍵活動肯定以後，關鍵活動所在的路徑就是關鍵路徑。

AOV{
		頂點->活動;
		弧/邊->活動間優先關係;
}
AOE{
		頂點->事件;
		弧/邊->活動，邊上的權值表示活動的持續時間;
}