計算機圖形學 opengl版本 第三版------胡事民 第四章 圖形學中的向量工具

計算機圖形學 opengl版本 第三版------胡事民 第四章  圖形學中的向量工具

一   基礎

 1：向量分析和變換   兩個工具  能夠設計出各類幾何對象

　　點和向量基於座標系定義     

　　拇指指向z軸正方向    從x軸的正向握向y軸的正向，  能夠分爲左手和右手座標系。

　　點A到點B的位移稱爲向量v       則v=B-A     尾-頭

　　一個n維向量是一個n元組      w=(w1,w2,w3,...)

　　用矩陣來表示向量  更加方便清晰

2：向量的基本運算法則

　　向量a b      標量s （實數）            a=(a1,a2,a3)   (向量的座標表示)        b=(b1,b2,b3)    

　　加法:a+b=   (a1+b1,a2+b2,a3+b3)　　  

　　乘法：s(a)=(s*a1,s*a2,s*a3)

　　有些系統中  標量s表示複數   這裏不討論

3.   向量的線性組合

　　m個向量v1，v2，v3...vm

　　　　　　向量w=a1v1+a2v2+a3v3+...am+vm

　　其中am爲標量

　　特殊的線性組合：仿射組合       凸組合

　　向量的仿射組合：標量係數的和爲1     且僅和標量有關

　　　　　　　　　　a1+a2+a3+...+am=1

　　　　兩個向量a和b的仿射組合形式

　　　　　　　　(1-t)a+(t)b

　　向量的凸組合：標量的和爲1    且   各個標量>=0

4.向量的度量和單位向量

　　w爲向量

　　|w|=根號下（w1^2+w2^2+w3^2+....+wn^2）      勾股定理    模爲頭尾兩點的距離

　　有時須要縮放向量   使向量的長度爲一，這一過程被叫作向量的歸一化     歸一化的結果爲單位向量

　　爲了獲得a的歸一化向量   咱們能夠用1/|a|數乘a

　　a的單位向量=a/|a|     其中|a|!=0

　　例如：a=(3,-4)     那麼|a|=5     歸一化的結果爲a^=(3/5,-4/5)      有時咱們也吧單位向量當作方向。　　　

　　任何一個向量均可以寫成：a=|a|a^        向量的模乘方向

二.點積

1.兩個工具   點積   和叉積

　　點積獲得一個標量，用於二維向量

　　叉積獲得一個向量   用於三維向量

　　a.b=a1b1+a2b2   

　　定義：

　　n維向量v=（v1,v2,v3...vn）         w=（w1，w2,w3...wn）

　　　　點積d表示爲v.w=v1.w1+v2.w2+...vn.wn

　　性質：對稱性（交換）：a.b=b.a

　　　　　線性：（a+c）.b=a.b+c.b

　　　　   同質性：（s.a）.b=s(a.b)

　　　　   |b|.|b|=b.b

2.兩向量的夾角：

　　

　　b=(|b|cos∠b，|b|sin∠b)

　　c=(|c|cos∠c，|c|sin∠c)

　　b.c=|b|.|c|.cos∠c.cos∠b+|b|.|c|.sin∠c.sin∠b

　　b.c=|b|.|c|.cos∠boc

  　上式兩邊同時除以|b||c|

　　cos(∠boc)=b^.c^           兩個向量b和c之間的夾角的餘弦等於歸一化後向量的點積

3.b.c的符號和正交性

　　b.c>0      角度小余90度

　　b.c=0　　角度等於90度　　　　　　此時b垂直於c    則稱向量b和向量c是正交的。

　　b.c<0　　角度大於90度

　　正交也叫直交或者垂直

　　三維形式經常使用  叫作標準單位向量,分別稱爲 i         j         k

　　定義：三維空間的標準單位向量有以下份量的向量

　　i=(1,0,0)      j=(0,1,0)     k=(0,0,1)    也能夠寫成矩陣的形式

　　

　　任意一個三維向量如（a,b,c）均可以寫成另外一種形式

　　　　(a,b,c)=ai+bj+ck

4.二維正交向量

　　a=(ax,ay)的正交向量爲b(-ay,ax)       致使a.b=0    兩個向量垂直   ⊥

　　與a向量的正交向量有無窮多個     任何一個數成b的結果都是與a正交的

　　定義：給定a=(ax,ay)    則a^⊥ =（-ay,ax）    與a逆時針正交

　　a像左轉90度a^⊥      a想右轉90度爲-a^⊥

　　a^⊥ 的一些有趣的屬性

　　　　 1.線性 （ a+b）^⊥ =a^⊥ +b^⊥    對任意標量A    有（Aa）^⊥ =Aa^⊥ 

 　　　　2.a^⊥⊥ =（a^⊥ ）^⊥ =  - a

 　　　　3.   正交點積  a^⊥ .b=axby-aybx         其中a=（ax,ay）

　　　　　　a^⊥ .a=0　　　　　　　　

　　　　　　|a^⊥ |^2=|a|^2 　　 兩正交向量具備相同的長度

　　　　　　a^⊥ .b=-b^⊥ .a      　反對稱性      例如（0,1）   和（-1,0）   爲反對稱性

　　　　 4.

　　　　　  行列式

　　　　　　

 　　　　　　

 　　　　　　上面的兩個證實  將座標帶入後化簡便可獲得

　　　　5.正交投影和點到直線的距離

　　　　圖形學中常出現的問題

　　　　　　a　　將一個向量投影到另外一個向量上

　　　　　　b　　將一個向量分解成不一樣方向上的份量

　　　　　　c　　找到一點到另外一條直線的距離

　　　　

 　　　　k和m是待定的常數     c=kv+mv^⊥

　　　　咱們說從c到v的正交投影是kv而且點c到直線的距離是|mv^⊥|　

 　　　　求出k和m 的方法：等式兩邊同時乘以一個v

　　　　　　c.v=kv.v+v.mv^⊥

　　　　k=c.v/v.v

　　　　兩邊同時乘以   v^⊥

　　　　m=c.v^⊥/v^⊥.v^⊥

　　　　

　　　　距離=m .v^⊥

　　　　

　　　　也等於                                           

　　例題：4.3.5

　　將向量c(6,4)到v=（1,2）的正交投影  並畫出相關的向量

　　用4.20的公式：（14/5,28/5）

　　例題：4.3.6

　　求點c=(6,4)到過點（1,1）和（4,9）的直線的距離

　　

 

6.投影的應用：反射

　　　　

　　　　入射角等於出射角