使用OpenGL進行Mandelbrot集的可視化

Mandelbrot集是哪一集？？

Mandelbrot集不是哪一集！！ 啊不對……
Mandelbrot集是哪一集！！ 好像也不對……
Mandelbrot集是數集！！ 因此……他不是一集而是數集？？……

因此這個M...dem...集究竟是什麼啊？？

Mandelbrot集是一個數集

Mandelbrot集\(\mathbb{M}\)（簡稱曼集）是一個由二元複數構成的集合，也就是一個複數集：
\[ \mathbb{M}\subset\mathbb{C} \]

也就是說，曼集的元素都是複數，也就是以下的形式：
\[ \forall m\in \mathbb{M},m=a+b\mathrm{i},\left(a,b\in \mathbb{R}\right) \]

爲何叫這麼複雜的名字？？

本華·曼德勃羅特（Benoit B.Mandelbrot）是分形學（Fractals） 的鼻祖，是的，Fractals這個詞就是他提出的。
不過，這個集合自己並非他本人提出的，而是一個叫作阿德里安·杜阿迪的法國數學家提出的，至於爲何以曼德勃羅特命名，根據wiki的說法是提出者爲了向曼德勃羅特致敬而放棄用本身的名字命名。

這是個什麼樣子的集合？？

一個複數\(z\)在或不在曼集中，取決於以下數列是否收斂：
\[ \zeta:z,f(z;c),f(f(z;c);c),\cdots,f\circ^n(z;c) \tag{1} \]
\[ z,c\in\mathbb{C} \]
其中，\(f(z;c)=z^2+c\)，\(c\)是一個復參數。
若是把\(f\circ^n(z;c)\)展開寫的話就是：
\[ \begin{split} \zeta_n&=f\circ^n(z;c)=z_n^2+nc \\ z_n&=z_{n-1}^2+c \end{split} \tag{2} \]
因爲在其中迭代的前一個\(z\)都是以平方的形式出現，這也就意味着
\[ \left|\Re\left(z_n\right)\right|\ge\left|\Re\left(z_{n-1}\right)\right|\ge 0 \\ \left|\Im\left(z_n\right)\right|\ge\left|\Im\left(z_{n-1}\right)\right|\ge 0 \]
這樣一來，若\(z_n\)收斂，則\(z_m(m<n)\)必然收斂。

綜上描述，有下結論：
\[ z\in\mathbb{M} \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\zeta_n\in\mathbb{C} \tag{3} \]

式3即曼集斷定的充要條件或定義。

爲了讓問題變得簡單，這裏能夠令初始值\(z=0\)，這樣式2變成了僅與參數\(c\)相關的形式：
\[ \begin{split} z_0 &=0 \\ z_1 &=c \\ z_2 &= z_1^2+c = c^2+c \\ z_3 &= z_2^2+c = c^4+2c^3+c^2+c \\ &\cdots \\ \end{split} \]

複數？？迭代？？還收斂？？聽起來好像很複雜……

這個……是的，這些東西聽起來很不直觀，以致於我也花了很久看了大量資料才搞清楚是什麼意思。

可是，這件事自己的中心思想並不複雜，其無非作了這樣的一件事情：

1. 給定一個複數\(c\)
2. 計算\(z_+=z^2+c\)（\(z_+\)會成爲下一次的\(z\)）
3. 就這樣，反覆執行2，直到山窮水盡之時
   1. \(z_+\)仍然沒有飛昇爲\(\infty\)，那\(c\in\mathbb{M}\)
   2. 不然存在某一次\(z_+=\infty\)則\(c\notin\mathbb{M}\)

山窮水盡之時？？那我恐怕等不到那一天了……

沒必要沮喪，咱們甚至沒打算去推導出\(z_n\)的完整展開形式，並且，計算機也沒法處理須要運行無數次才能解決的問題（停機問題）。

可是，在有限的，可預見的次數（迭代數）內，進行這樣的斷定仍是可行的而且能得出結果的。

可是這樣的話確定會有紕漏吧

說的對，由於只要迭代數\(n\)有限，\(z_n\)是總能求出肯定值。但正由於如此，迭代數的增加纔會產生實際的意義。這就好像，沒有人能求出\(\pi\)的全部小數位數，可是每當有人多求出正確的一位的時候，其結果與實際值就總會更加接近。也就是說，只要範圍有限，咱們求得的曼集就總比實際的曼集大，但隨着次數的增多，結果集合會向曼集逐漸地靠近。

所幸，在有限的次數內，咱們儘管不能當即斷言哪些數必定屬於曼集，但咱們能斷言哪些數必定不屬於曼集，那正是：

還沒上高速公路就要起飛的，那必然是要玩完的

在有限次計算就體現出明顯的發散趨勢的時候，那基本也就搶救無效了

好吧好吧，那有哪些值是能夠放棄治療的？

根據迭代函數的定義，\(f(z;c)=z^2+c\)，咱們對函數的範數（也就是模，或者稱爲複數的絕對值）進行考察，至少若是\(f\)收斂，其模與帶入z的模至少是相等的（固然，原則上幅角也應當相等），：
\[ |f(z;c)|=\left|z^2+c\right|=|z| \\ |z|\ge0 \]

根據絕對值三角不等式（這個對複數域一樣成立，實際上就是向量絕對值三角不等式的移植），若\(|z|=0\)則\(|c|\)必然爲\(0\)，不然
\[ |z|^2-|c|=|z^2|-|c|\le|f(z;c)|=|z|\le|z^2|+|c|=|z|^2+|c| \\ 1-|c|\le|z|\le1+|c| \]
因爲迭代初始條件\(z_0=0\)，所以通過n次迭代後的\(z\)必定是
\[ z_n=\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{k_mc^{m}} \\ c\le|z_n|\le\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{|k_m||c^{m}|} \]
上面的不等數右側產生了一個很熟悉的形式——冪級數，若是要冪級數\(\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{|k_m||c^{m}|}\)收斂，則\(|c|<1\)是必要條件（因爲\(k_m\)的大小這裏沒有多加考慮，即便\(|c|<1\)知足，發散的可能一樣存在，這個在後續的迭代過程當中會進一步的被髮掘出來），不然根據冪級數的性質級數必然發散，這樣獲得了一個必要閾值：\(|c_\Theta|=1\)，將這個閾值帶入，咱們就能獲得\(|z|\)的基礎發散斷定值：
\[ |z|\ge2\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{\zeta_n}=\infty \]

在後面的程序中，咱們將使用這個值做爲發散斷定，意思就是說，若是算出\(|z|\ge 2\)了，那就不用考慮了，你不可能收斂的，至於剩下的值，我只假設但不斷言它必定在集合內，所以我暫且將它認爲是集合內的，若是通過更多的計算髮現也達到這個紅線條件了，那麼一樣不論這個值掙扎了多久，OUT！

可是，複數的收斂並不限於模收斂，當複數被整理爲輻角形式\(r\angle\theta\)時，若\(\theta\)沒有穩定值即使\(r\)已經收斂仍然不能斷言複數收斂（畢竟啊，那個複平面上的向量若是一直在原地打轉，份量就總在以一個有界值變化，宛如論證的喪鐘在轉動），可是對於這個函數而言根本不會不存在這種情形！

哇，斷言的這麼輕鬆？？何出此言？？

其實很容易，找到這樣的向量，利用迭代函數平方相加後保持模不變便可，所幸的是，這樣的值很是有限，由於首先一個條件就將範圍急劇縮減：
\[ |c|=1 \]

是的，只有\(|c|=1\)的時候，平方計算後纔可能保證模不變（依據輻角計算法若\(z=r_z\angle\theta\)，則\(z^2=r_z^2\angle{2\theta}\)），固然我是指僅一次，由於還另外須要一件事保證\(z^2+c=c^2+c\)後的模長也是\(|c|\)或者說是\(1\)：
\[ \cos{<c^2,c>}=-\frac{1}{2} \]
也就是說\(\arg{z^2}-\arg{c}=\frac{2k\pi}{3}\)才能夠（這個式子寫的不是很嚴謹，但你當成是兩個夾角爲\(120^\circ\)就好），固然你會反駁：

\(c\)是隨意取得，也就是說幅角就能夠是任意值，固然，\(z^2\)的取值決定於\(c\)，也就是\(z^2\)能夠和\(c\)構造連續的函數映射，那麼你根本保證不了\(z^2\)必定可以避開這些值啊你個代數白癡！！

啊是的，可是你很快就會意識到一個事實：

這個喪鐘，轉不久的！！

什麼？？

確實，當知足上述兩個條件以後，獲得的\(z_+\)的結果模仍然是\(1\)，只是轉了個角度，可是架不住這個函數是迭代的啊，此次獲得的\(z_+\)很明顯位於這\(z^2\)和\(c\)的角平分線處……

而後，夾角條件被打破了！！

就像雪崩同樣，這個微妙的平衡很快就被打破了，而且立刻開始急劇的發散（或收斂）。

如丸走阪
- Ramp Rollerball

這樣一來，經過屢次的迭代運算，不合格的點一點一點被篩出，若是次數足夠多，這個集合最後造成的圖形被稱爲Mandelbrot分形。
大概長出來是這樣的：

這個M..d什麼b什麼的分形有什麼特色麼？？

做爲一個分形，它最大的特色之一就是：

德羅斯特效應（自類似性，Droste Effect）

若是對這個圖形局部放大，你會看到這個與最開始看到一致的子圖性，並且：

放大一次有，一直放大一直有！放大放大再放大！每個子部都看的清清楚楚！

德羅斯特效應本質是遞歸式的圖形體現，由於迭代函數經過\(z_+=f(z;c)\)進行了遞推，這樣的話，也就意味着，分形具備無限細微的結構，並且跟總體是類似的。

而具備無限精細的結構也就意味着：它具備有限的面積，而周長卻極可能無窮大

固然因爲曼集的邊緣性質很是複雜，這裏就再也不詳細討論他的周長是否收斂了（面積收斂是一看就能看出來的），畢竟這篇文章是爲了說明如何經過OpenGL實現這個集合的可視化，上面其實已經花了大量的篇幅去推導一個閾值了。

Mandelbrot集的兄弟——Julia集簡介

以前是以\(c\)做爲參數進行迭代，獲得了曼集，那麼，若是把\(c\)和\(z\)交換一下，讓\(z\)作參數，就獲得了Mandelbrot集的兄弟——Julia集（如下簡稱朱集），以法國數學家加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）命名。

— Oh,Julia~
— Oh,Mandelbrot~
— W...What??

一樣，由於遞歸仍然存在，Julia集獲得的也會是Julia分形：

迭代函數沒變，所以它的發散斷定也是和曼集是一致的，這裏僅僅介紹一下這個親戚，並不打算實現這個Julia集的可視化。

OpenGL可視化實現

其實上面的函數都已經推導完畢的狀況下，而且也知道集合是如何生成的以後，代碼實現就容易多了，繪製曼集的代碼以下（只考慮整數點）：

基本繪製（二值化）

void DrawMandelbrot(int maxIter)
{
    complex<double> z(0,0); // 位於標準庫<complex>頭文件中
    complex<double> c;
    complex<double> f(0,0);
    bool diverge = false;
    glBegin(GL_POINTS);
    for (GLint x = -400; x < 400; x++)
    {
        diverge = false;
        for (GLint y = -300; y < 300; y++)
        {
            c = { static_cast<double>(x)/150,static_cast<double>(y)/150 };
            int iter;
            for (iter = 0; iter < maxIter; iter++)
            {
                z = z*z + c;
                if ( abs(z) >= 2 ) //發散斷定
                {
                    diverge = true;
                    break;
                }
            }
            if (!diverge)
            {
                glColor3f(0.0f, 0.0f, 0.0f); //集合內黑色
            }
            else
            {
                glColor3f(1.0f, 1.0f, 1.0f); //集合外白色
                diverge = false;
            }
            z = { 0,0 };
            glVertex2i(x, y);
        }
    }
    glEnd();
}

效果圖：

有問題，若是發散斷定值不取2會有什麼影響？？

問得好，實際上我正想說，其實斷定值最好取2，若是實在沒法取得的話，也至少請保證它大於2
若是小於2，則有些原本應該在曼集內的點被剔除，這樣造成的曼集圖形是不完整的。

而若是大於2，當迭代次數很是大的時候，實際上獲得的結果與2的時候相差不大（細微的內部可能會有所差異），由於次數很是大的時候，該發散的值通常早都散得沒影了，用再大的有限值根本攔不住。可是若是迭代次數很是小的時候，獲得的曼集會包含大量冗餘的點，由於閾值沒能稱職地起到約束做用。

迭代着色

固然，不管如何，咱們可讓上面的圖更加漂亮一些，好比咱們以迭代多少次就發散了做爲着色的依據，這裏對上面的圖形進行着色處理。
實際上只須要把集合外的着色代碼裏面的顏色份量改爲與迭代數iter相關的形式：

//...
else
{
    glColor3f(static_cast<float>(iter) / maxIter, (0.5f*iter) / maxIter, 0.15f*iter / maxIter);
    diverge = false;
}

繪製結果：

值得注意的是，因爲迭代次數是一個離散的值，所以整個圖片的着色顯得並非那般的絲滑和連續，在其餘文章中還有提到過對數化將使着色更加柔和漂亮的方法，這裏再也不闡述。

當指定參數maxIter的次數不一樣，造成的圖形也不一樣，而且，隨着迭代次數的增大， 形狀逐漸趨於穩定，更接近於標準的曼集圖樣：