從簡單二叉樹問題從新來看深度優先搜索

導言

對於通常的二叉樹問題，咱們總能想到的是深度優先搜索這個算法，繼續想下去就是遞歸，可是其實對於深度優先搜索，有不少不同的思考方向和實現細節，在這基礎上，咱們能夠推導、總結出一些其餘的高級算法，例如分治、動態規劃等等，把這些算法聯繫在一塊兒，更有助於咱們理解一些核心的、本質的問題

題目分析

LeetCode 104. Maximum Depth of Binary Tree

給定一個二叉樹，求這個二叉樹的最大深度，一道很簡單的二叉樹問題，題目一理解，咱們很容易就知道，咱們要遞歸去求解，可是這裏仍是須要思考的是，是否是這道題就一種遞歸思路？遞歸實現的代碼每每很是簡潔，可是僅僅是一個地方的細微差異，反應出來的是兩種徹底不同的思路。咱們一塊兒來看看。

不一樣解法分析

最開始作這道題，我想的很是簡單，思路是：把整個二叉樹遍歷一遍，每一個節點都記錄一下當前的深度，而後對比求出最大深度便可。因而我寫出了下面的代碼：

private int max = 1;
public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    helper(root, 1);
    
    return max;
}

private void helper(TreeNode root, int currentDepth) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    
    max = Math.max(max, currentDepth);
    
    helper(root.left, currentDepth + 1);
    helper(root.right, currentDepth + 1);
}
複製代碼

你能夠看到這裏我定義了一個全局變量 max 來記錄當前訪問過的全部節點中的最大深度，最後遍歷完全部節點，max 就是題目要求的解。這麼作從時間空間複雜度分析其實都沒有啥毛病，可是這麼寫確實會讓代碼變得有點冗餘，通過思考以後，改進獲得下面的代碼

public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    int left = maxDepth(root.left);
    int right = maxDepth(root.right);
    
    return Math.max(left, right) + 1;
}
複製代碼

這裏沒有定義額外的全局變量或者輔助函數，遞歸和以前不一樣的點僅僅是 「更新值」 前後的問題，並且有一點特別重要的是這裏的遞歸是帶返回值的，以前的遞歸是不帶返回值的。那這說明什麼呢？是說明帶返回值的遞歸必定就比不帶返回值的遞歸更優嗎？其實不是，咱們要根據具體狀況具體分析，針對這道題，這兩種解法確實第二種來的更爲簡潔，可是明白思路更加的重要，第一種的思路是有點相似遍歷，可是這裏用的是遞歸去遍歷，並非咱們一般使用的 for 循環，每到一個樹節點就去作一下相應的記錄，而後去到下一個樹節點作相似的記錄，最後把全部的記錄彙總就是咱們要的答案，第二種思路其實就是分治，它的核心是先分再合，每一個節點只負責分跟合，這裏的分就是當前樹節點若是有子節點就分下去，合是指將子節點的結果以及當前的值進行統1、合併。你可能會以爲分治就必定比以前的遞歸遍歷更優，先別急着下這個結論，看看樹的中序遍歷吧，LeetCode 94. Binary Tree Inorder Traversal，思考一下，試着用兩種不一樣的思路去解，相信你會得出和這道題徹底相反的結論。

思路總結

以前作了挺多的深度優先相關的算法題，像是排列問題，組合問題，N 皇后問題，這些題目都是回溯的思想，條件知足就更新，你不多會去關注當前層和上面一層的聯繫，這裏的遞歸也不須要任何的返回值，緣由很簡單，每一層不須要向上一層反應狀況，操做都是基於全局變量或者堆內存的。可是反觀分治則狀況大不相同，能夠舉一個咱們工做生活中的例子來加以說明：

老闆
            / | \
          經理...經理
         / | \    / | \
      員工...員工 員工...員工
複製代碼

這裏一個公司只有一個老闆，老闆管理着不少的部門，每接到項目，老闆都會將這些項目交給不一樣的部門去作，咱們這裏假設部門之間相互沒有聯繫（分治算法中不存在重複子問題），每一個部門由一個經理來負責，經理會將項目拆分紅小任務並分配給不一樣的員工去處理，到這裏，分配就結束了。員工作完了分配的任務後，向上彙報狀況，經理將全部員工彙報的狀況整合，繼續向上彙報，最後老闆根據全部部門經理彙報的狀況來產生出公司的策略，也就是最後的解。這個例子很好的解釋了分治算法的思想，不同的是，這個例子中的員工、經理、老闆作的是不同的事情，可是分治算法會更加的簡單，每一層作的事情都是同樣的，只是根據子問題獲得的數據不同，於是結果就會不同。你能夠看到分治其實就是先分再合，自底向上傳遞結果的過程。由於要傳遞結果，因此遞歸函數每每就須要有返回值，可是這並不絕對，像快速排序這樣利用分治思想的算法的遞歸函數就沒有返回值，這是由於它的結果都會記錄在同一個數組中。

延伸

看完上面的內容你可能會有一個疑問，是否是深度優先搜索必須依靠遞歸來實現？其實並非，函數遞歸本質上是函數調用函數本身，在系統的底層，咱們藉助的是函數棧來保存以前的函數，也就是上一層的內容，若是不使用遞歸，那麼就是說咱們不能依靠系統爲咱們提供的函數棧，所以咱們須要手動創建一個棧來保存上一層須要的內容，對於這道簡單的二叉樹問題，代碼以下：

public int maxDepth(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    
    Stack<TreeNode> stackTree = new Stack<>();
    Stack<Integer> stackDepth = new Stack<>();
    
    stackTree.push(root);
    stackDepth.push(1);
    
    int max = 1;
    while (!stackTree.isEmpty()) {
        TreeNode curNode = stackTree.pop();
        int curDepth = stackDepth.pop();
        
        if (curNode.left != null) {
            stackTree.push(curNode.left);
            stackDepth.push(curDepth + 1);
        }
        
        if (curNode.right != null) {
            stackTree.push(curNode.right);
            stackDepth.push(curDepth + 1);
        }
        
        if (curNode.left == null && curNode.right == null) {
            max = Math.max(max, curDepth);
        }
    }
    
    return max;
}
複製代碼

這裏我用了兩個棧的緣由是有兩個變量須要保存，一個是節點，另外一個是節點對應的深度，固然你也能夠把他們合二爲一做爲一個新的 Object。本身手動實現一遍，相信會加深你對遞歸的理解。

其實在普通的深度優先搜索算法的基礎之上，咱們也能夠看到動態規劃的影子。通常的深度優先搜索是對以前的子問題的結果不進行保存的，就拿這道題爲例子，當你獲得最後的解的時候，這時你只知道整顆樹的最大深度，可是你並不知道左子樹，以及右子樹的最大深度，想要知道的話，就得從新再針對左子樹或者右子樹深度優先搜索走一遍，可是，其實你以前計算整顆樹的最大深度的時候，已經將左子樹和右子樹的最大深度計算過了，由於（maxDepth = Max(leftMaxDepth, rightMaxDepth)）+ 1，若是咱們用一個數據結構，好比數組或者散列，去記錄這些子問題的解，用到的時候直接去這些數據結構中對應着找，那麼這樣的思想就是動態規劃，只是這時它是以遞歸的形式呈如今這裏。固然在這道題當中，記不記錄並無區別，由於沒有重複的子問題，換句話說就是除根節點外，一個節點有且僅有一個父節點。能夠看以前我分析過的一個算法題 LeetCode 312 Burst Balloons 思路分析總結，這裏面提到了一個很好的分析搜索類，以及動態規劃類問題的思路步驟就是：

1. 暴力的深度優先搜索
2. 畫出/思考出問題和子問題的關係，看有沒有重複子問題
3. 若是有重複子問題，考慮增長記憶化的數據結構
4. 據此，思考動態規劃的狀態和遞推方程
5. 實現動態規劃

這些步驟並非對於每到題都要走完的，對於像排列、組合這類問題到第二步就結束了，可是對於不少動態規劃問題咱們須要一直走完五個步驟，雖然繁瑣了些，可是確實能夠增強咱們方向和思路。以我往常的經驗，動態規劃問題怕就怕在沒有思路，沒有思路就會步履維艱。

總結

總體來看，深度優先搜索的涵蓋面確實太廣了，一方面是由於它比較好的和遞歸進行告終合，另外一方面是藉助它，不少其餘算法的思想獲得了體現，文章的內容總結以下

• 深度優先搜索
  • 遞歸遍歷 -> 相似 for 循環，到一個地方用一樣的手段解決問題
  • 分治 -> 先分再合，自頂向下分解任務，自底向上傳遞結果
  • 記憶化搜索 -> 在 「傻搜」 的基礎之上增長了 「記事本」
  • 動態規劃 -> 優雅地實現記憶化搜索
  • 非遞歸實現 -> 手動創建棧來代替系統函數棧的角色