猴子排序的指望複雜度推導(霧)

　　衆所周知，猴子排序打破了排序算法$O(n\log{n})$的桎梏(霧)，具體的話，顯然最好狀況一次成功就是$O(n)$，最壞狀況那就$O(+\infty)$了。指望是多少呢？讓我來推導一番(逃)。

　　首先，設序列長度爲$n$，每次打亂序列和檢測是否有序爲$O(n)$，每次成功的機率爲$\frac{1}{n!}$(全排列共$n!$種)，失敗的機率爲$1-\frac{1}{n!}$。咱們令$X$爲排序成功所需的打亂次數，則$P(X=k)=P_{成功}^{1}×P_{失敗}^{k-1}$(乘法原理)。那麼猴子排序的指望複雜度就是$O(E(X)*n)$

　　X分佈列以下表所示——

$X$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$k$	$\cdots$	$+\infty$
$P(X=k)$	$\frac{1}{n!}$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}$	$\cdots$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}$	$\cdots$	$+\infty$

　　有了分佈列就來求X的指望吧——

$$E(X)=1×\frac{1}{n!}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}+\cdots$$

$$=\frac{1}{n!}×\left[1×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{0}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{1}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}+\cdots\right]$$

$$=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$$

　　嗯……這個級數怎麼求和啊？

　　寫個程序跑一下吧，求和求到二百萬應該夠了，再往上long double的精度也不資磁了……

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    double fac=1;//n!
    for(int n=1;n<=10;n++)
    {
        long double E=0;
        fac*=n;
        for(int i=1;i<=2000000;i++)
        {
            E+=i*pow((fac-1.0)/fac,i-1);
        }
        E/=fac;
        printf("E(X)=%Lf    (n=%d)\n",E,n);        
    }
    return 0;
}

 

　　運行結果——

 

　　n大於8之後，long double都爆了……忽略它們！(觀衆：你……)

　　因而咱們猜測——$E(X)=n!$。

　　上網一查，猴子排序複雜度果真是$O(n×n!)$，因而，猜測成立，推導完畢……（博主已被打死）

 　　

　　留坑，等我會求那坨級數求和再來填坑吧（逃）你們別學我

2019年1月21日13:45:56更新

　　填坑啦！填坑啦！（這學期高數應該不會掛了嘻嘻）

　　那個$E(X)=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$是一個以$n$爲自變量的冪級數，對$E(X)$逐項積分可得$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^i$$

　　又

$$\sum_{i=1}^{\infty}k^i=\frac{1}{1-k}-1       (-1<k<1)$$

　　令$k=1-\frac{1}{n!}$

　　則$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×(n!-1)=1-\frac{1}{n!}$$

　　兩邊再求導可得……可得啥來着？稍等……再次留坑