LeetCode 287. Find the Duplicate Number （python 判斷環，時間複雜度O（n））

LeetCode 287. Find the Duplicate Number

暴力解法

時間 O（nlog(n)），空間O（n），按題目中Note「只用O（1）的空間」，照理是過不了的，可是可能判題並無卡空間複雜度，因此也能AC。

class Solution:
    # 基本思路爲，將第一次出現的數字
    def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
        s = set()
        for i in nums:
            a = i in s
            if a == True:
                return i
            else:
                s.add(i)

雙指針判斷環

時間O（n），空間O（1），思路十分巧妙，可是使用條件比較苛刻。根據題目給出的條件，剛好能用這種解法，這應該也是出題人推薦的解法。

題意分析：

1. 輸入的序列有n+1個數字，每一個數字在1~n之間取，這爲構成數字環創造了條件。
2. 只有一個數字有重複，因此只可能構成一個環。

注:上面所說的環是指1->2->3->1

以樣例1爲例：[1,3,4,2,2]

0	1	2	3	4
1	3	4	2	2

以下圖所示，其中2->4->2構成環，入環點爲2

解題思路

由題意分析可知，每一個樣例均可以畫成這樣一張圖，咱們只須要找出圖中的環，並找出入環點，即爲所求的重複數字key，下面都用key表示所求的重複數字。

爲何一定存在環

以樣例1爲例，圖中出現了5個點0-4，圖中存在5根指針線，5個點5根線，一定存在環。
n個點，點的範圍去0~n-1，n根線，一定存在環。（n-1根線是剛好無環的狀況，本身畫圖可知）

找環的方法

設置一個慢指針slow，一個快指針fast。slow每次走一步，fast每次走兩步，若是slow與fast能相遇，說明圖中存在環，而且相遇點必定存在於環中。

爲何key必定爲入環點？

有題意分析中的表可知，key的入度必定大於1，即不止一個點能夠直接到key。而key必定存在於環中，因此key必定爲入環點。樣例1中3,4均可到達2，2的入度2，2爲入環點，即爲所求的key。

怎麼找入環點key?

slow和fast相交的點記爲相遇點P。
slow和fast從起點0到相遇點P運行步驟以下：

這個相遇點P與起點0到達入環點key的步數 差距爲環L的整數倍，故設置slow2從起點0開始，每次走一步，slow從相遇點P開始，每次走一步，slow和slow2必定會相遇在入環點key。

咱們能夠有一個小小的證實，以下圖

設起點0到達入環點key的步數爲x，相遇點P到達入環點key的步數爲y。
設slow指針走到相遇點P的步數爲t，fast走到相遇點P的步數爲2*t。
設走完環一圈的步數爲L

2 * t - x + y = M * L（一）
t - x + y = N * L （二）
fast指針在環中走的步數2t-x，此時到達相遇點P，key->P->key步數爲2t-x+y = M * L，正好爲L的M倍，M爲常數。（一）式
slow指針在環中走的步數t-x，此時到達相遇點P，key->P->key步數爲t-x+y = N * L，正好爲L的N倍，N爲常數。（二）式

2倍（二）式 減 （一）式
y-x = （2N-M） * L
因此y與x的步數差距爲L倍的環。
得證。

如何肯定起點0必定會進入包含key的環？

假設存在不包含key的環，起點0在不包含key的環中繞圈。
|0|a1|a2|a3|a4|a5|a6|
|-|-|-|-|-|-|-|
|b1|b2|b3|b4|b5|b6|b7|
按題意不包含環，b[i]與b[j]必定不相等（i != j）
因爲b1~b7從1開始，因此b[i]只能從a[j]中取（1<=i<=7，1<=j<=6）
從6個數字的集合a中取7個數字，因此假設不成立，一定存在相同數字b[k]，即爲key。

代碼以下

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
        # 若是隻有兩個元素，第一個元素必定是重複元素
        if len(nums) == 2:
            return nums[0]
        
        # fast每次走兩步，slow每次走一步，起始點能夠爲任意位置
        fast = 0
        slow = 0
        # python沒有do while，因此在循環外寫了一遍
        slow = nums[slow]
        fast = nums[nums[fast]]
        while slow != fast:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[nums[fast]]
        
        # fast從起點每次走一步，必定會與slow相遇，此時slow可能在環中走了多倍的L步。
        # L爲環一圈的步數
        fast = 0
        while fast != slow:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[fast]
        return fast