MATLAB學習筆記（二）——主要是MATLAB的矩陣知識

PS：主要是講解矩陣的相應的實現方法，其實MATLAB的很大一部分的優點，就是集成了矩陣級別的運算，並以此爲特色，能夠進行多維空間上的驗證。

       讓咱們懂得了原來線性代數如此有用= - =。

（一）MATLAB矩陣

1、矩陣的創建

一、直接輸入法建立：

       還能夠有複數矩陣的創建，有兩種方法：

    （1）直接按照直接輸入法來創建矩陣，可是元素能夠直接打成複數的形式（a+bj）

    （2）還有就是分別創建一個實部還有一個虛部的矩陣，而後經過（a+bj）就能夠獲得。

二、M文件創建矩陣

      就是把創建的矩陣存在一個文件裏，下次直接調用就能夠了。而後方法以下（下一篇日誌會敘述）

三、利用冒號表達式創建一個向量

（1）e1:e2:e3

    其中e1爲初始值，e2爲步長，e3爲終止值（只取到小於或者等於終止值就能夠了），

    若是e2省略，那麼默認步長爲1；

（2）lidspace（a,b,n）

    a，b是生成向量的第一個和最後一個元素，n是元素總數。

四、創建大矩陣（由方括號中的小矩陣或者向量組合起來）

五、經過MATLAB集成的交互界面進行建立（最快）

（1）找到新建變量，並單擊

（2）而後就能夠進行新建變量了

        1處能夠改變變量名字，2處能夠進行矩陣的輸入，3處能夠查看矩陣在內存中是否保存，沒有的話請按Ctrl+s。

2、矩陣的拆分

一、矩陣元素

（1）能夠直接經過下標進行修改和訪問，若是超過了原來矩陣的維度，會自動擴充，而且未填充的元素置爲0。

（2）矩陣元素是按照列來存儲，先第一列而後第二列。而後下標和序號能夠一一對應，而後由對應的sub2ind和ind2sub求得

、

二、矩陣拆分

（1）用冒號表達式來得到子矩陣

a、a(  : ; j )表示取a矩陣的第j列的所有元素；一樣的a（i;:）表示取a矩陣第i行的所有元素。也能夠直接飲用對應下標取單獨的元素。

b、裏面能夠嵌套冒號表達式，這樣子就能夠取出一個小的矩陣。例子以下

c、end表示最後一個數。

（2）利用空矩陣刪除矩陣的元素

clear是把變量從空間中刪除，而[]則是賦值成一個空的矩陣。

一樣可使用引用，進行數組的置空

3、特殊矩陣

一、通用的特殊矩陣：

zeros	產生0的矩陣
ones	產生1的矩陣
eye	產生對角矩陣
rand	產生0~1間均勻分佈的隨機矩陣
randn	產生矩陣爲0，方差爲1的標準正態分佈隨機矩陣

二、用於專門學科的特殊矩陣

（1）魔方矩陣（每行每列每對角線都相等）

           magic（n）: 生成n階的魔方陣。

（2）範德蒙德矩陣

（3）希爾伯特矩陣

           hilb(n）                n階希爾伯特矩陣

           invhilb（n）          n階希爾伯特的逆矩陣

（4）託普利茲矩陣

           toeplitz(x,y）

（5）伴隨矩陣

 

 

（二）MATLAB運算

1、算術運算

一、基本算數運算

（1）加減

（2）乘法

（3）除法

（4）乘方

       這些運算主要都要服從矩陣的運算法則。維度不符合matlab會進行報錯。

二、點運算

       格式是在正常的符號前面加上一個「.」就行了。

       運算的結果就是對矩陣中的每一個元素相應的運算就行了，

2、關係運算

一、關係運算符：

<	小於
<=	小於等於
>	大於
>=	大於等於
==	等於
~=	不等於

二、運算法則：

（1）標量對標量：直接進行運算

（2）矩陣對矩陣：每一個元素對應進行運算

（3）標量對矩陣：標量對每一個元素進行運算

       最後是真的爲「1」，假的爲「0「。

PS：在這裏記下一個求求餘數的函數rem

3、邏輯運算

一、邏輯運算符。

二、運算法則同上。

PS：運算符的優先級排序：算術>關係>邏輯

三、其餘相應的一些邏輯函數（經過名字來記住功能）

 

（三）矩陣分析

1、對角陣與三角陣

一、對角陣

（1）提取矩陣對角線上的元素:  diag(A), diag(A,k)

（2）構造對角陣:  diag(A)

       對每行每列進行相同乘數的運算，用對角陣相乘，左乘（對每行進行相乘），右乘（對每列進行相乘）

二、三角陣

（1）上三角陣

    triu(A)：將A變成一個上三角矩陣（下半邊爲0）

    triu(A,k)：將矩陣A的第k條對角線以上的元素

（2）下三角矩陣

    tril(A)

    tril(A,k)

2、矩陣的轉置與旋轉

一、矩陣的轉置

（1）轉置運算符是單撇號（’）

（2）做用就是求轉置，可是請注意不是求逆矩陣。

二、矩陣的旋轉

（1）運算符號：rot(A,k)

      就是將矩陣逆時針旋轉k*90°的角度。若是單單旋轉90°就能夠直接省略k這個參數。

三、矩陣的左右翻轉

（1）運算符號：fliplr(A)

四、矩陣的上下翻轉

（1）運算符號：flipud(A)

3、矩陣的逆與僞逆

一、矩陣的逆

（1）定義：A·B=B·A=E，就稱A和B互爲逆矩陣。

（2）運算函數：inv(A)

（3）應用：能夠用來求解線性方程組

二、矩陣的違逆

（1）定義：咱們知道在矩陣不是滿秩的時候是沒有逆矩陣的。可是能夠找到一個與A的轉置矩陣A`同型的矩陣B，使得知足矩陣的逆的定義。此時稱矩陣B爲矩陣A的違逆。

（2）運算函數：pinv(A)

4、矩陣的行列式

  運算函數：det(A)

5、矩陣的秩與跡

一、矩陣的秩

（1）定義：就是一個矩陣的行數和列數線性無關的數目

（2）運算函數：rank(A)

二、矩陣的跡

（1）定義：就是矩陣對角陣上的元素之和。

（2）運算函數：trace(A)

6、向量和矩陣的範數

一、定義：用來度量矩陣或者向量在某種意義下的長度。

二、向量的3種經常使用範數以及計算函數

  

三、範數的三個性質：

（1）非負性

（2）齊次性

（3）知足施瓦茨不等式（a,b)<=(a,a)(b,b)

四、矩陣的範數及其計算函數

運算函數同向量的。

7、矩陣的條件數

（1）定義：在求解線性方程組時，若是係數的微小改變會致使最終結果的很大改變，稱係數矩陣爲病態矩陣，而不會致使最終結果的很大改變的話，則是良性矩陣，而後條件數即是來衡量這一狀況的一個參數。

                條件數等於A的範數與A的逆矩陣的範數的乘積。這樣的話，條件數老是大於1的，若是越接近於1的話，性能越好。

（2）函數爲：

8、矩陣的特徵值與特殊矩陣

 

（六）字符串

一、規則：

（1）用單引號括起來就是字符串。

（2）而後字符串能夠寫成一個矩陣，可是一個字母是一個元素，因此必定要保證矩陣的維數是正確的。

（3）若是字符串自己有單引號，就要加2個單引號。

（4）較長的字符串能夠用字符串向量表示，及用[]括起來。

（八）稀疏矩陣

1、矩陣存儲方式

一、徹底儲存方式：就是以前咱們使用的方式

二、稀疏矩陣方式：

2、稀疏儲存方式的產生：

一、將徹底儲存方式轉化爲稀疏矩陣的方式

（1）A=sparse(S)：將矩陣S轉化爲稀疏儲存方式的矩陣A

（2）sparse的其餘調用方式：

       sparse(m,n)：生成一個m*n的全部元素都是0的稀疏矩陣

       sparse(u,v,S)：u,v,S是3個等長的向量。S是要創建的稀疏矩陣的非零元素，u，v是行列下標，而後S是相應的元素值。

（3）其餘操做的方式：

      [u,v,s]=find(A)：返回矩陣A中非零元素的下標和元素。

      full(A)：返回和稀疏儲存矩陣A對應的徹底儲存方式矩陣。

二、產生稀疏儲存矩陣