不經常使用的黑科技——「三元環」

萬惡之源：

給定一張無重邊、無自環的無向圖（點數爲$n$，邊數爲$m$，且$n,m$同階），問有多少個無序三元組$(i,j,k)$，使得存在：

1. 有一條鏈接$i,j$的邊

2. 有一條鏈接$j,k$的邊

3. 有一條鏈接$k,i$的邊

舉個例子：

這張圖中有三個三元環：$(1,2,3),(1,3,4),(3,4,5)$

有一個顯然的基於度數的亂搞的作法（本人並無寫過……），能夠在這裏閱讀到：jiachin_zhao [hdu 6184 Counting Stars](三元環計數)

這裏介紹一種十分優秀的三元環計數方法：

首先要對全部的無向邊進行定向，對於任何一條邊，從度數大的點連向度數小的點，若是度數相同，從編號小的點連向編號大的點

此時這張圖是一個有向無環圖

以後枚舉每個點$u$，而後將$u$的全部相鄰的點都標記上「被$u$訪問了」，而後再枚舉$u$的相鄰的點$v$，而後再枚舉$v$的相鄰的點$w$，若是$w$存在「被$u$訪問了」的標記，那麼$(u,v,w)$就是一個三元環了

並且每一個三元環只會被計算一次

那麼如今就只須要證實三件事：

1. 定向後的圖是一個有向無環圖

以上圖爲例，用$deg_u$表示$u$在原圖中的度數，則$deg_a \ge deg_b \ge deg_c \ge deg_d \ge deg_e \ge deg_a$

既$deg_a=deg_b=deg_c=deg_d=deg_e=deg_a$

對於度數相同的點，是按照編號從小到大連邊的，則$a \le b \le c \le d \le e \le a$

既$a=b=c=d=e$

然而點的編號是$1 \sim n$的全排列，所以不會產生如上的事情，既不存在環

因爲這張圖有向，並且沒有環，所以這張圖就是有向無環圖

2. 時間複雜度是$O(m  \sqrt m)$（在此認爲$n,m$同階）

對於「打標記」這個操做，每一個點都會將全部的出邊遍歷一遍，那麼這裏的時間複雜度爲$O(n+m)$

對於訪問$u$，而後訪問$v$，而後訪問$w$，能夠這麼考慮：對於每條邊（$u \rightarrow v$），對時間複雜度的貢獻爲$out_v$​，其中$out_v$表示$v$的出邊個數

這樣就轉化爲了求$\sum_{i=1}^{n}out_i$

不妨將$out_v$分類討論

1. $out_v \le \sqrt m$​，那麼因爲$u$鏈接$v$，所以$deg_u \ge deg_v$​，這樣的uu的個數是$O(n)$的，所以這裏的時間複雜度爲$O(n \sqrt m)$

2. $out_v \gt \sqrt m$，那麼因爲$u$鏈接$v$，所以$deg_u \ge deg_v$，既$deg_u \gt \sqrt m$​，這樣的$u$的個數是$O(\sqrt m)$的，所以這裏的時間複雜度爲$O(\sqrt m m)=O(m \sqrt m)$

所以時間複雜度爲$O(n+m+n\sqrt m+m\sqrt m)=O(m \sqrt m)$

3. 每一個三元環只會被統計一次

三元環在有向無環圖上無非就長這樣：

也只能且只會在$u$處被計算一次

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1e5 + 10;
 4 vector<int> g[N];
 5 int deg[N], vis[N], n, m, ans;
 6 struct E { int u, v; } e[N * 3];
 7 int main() {
 8     scanf("%d%d", &n, &m);
 9     for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
10         scanf("%d%d", &e[i].u, &e[i].v);
11         ++ deg[e[i].u], ++ deg[e[i].v];
12     }
13     for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
14         int u = e[i].u, v = e[i].v;
15         if(deg[u] < deg[v] || (deg[u] == deg[v] && u > v)) swap(u, v);
16         g[u].push_back(v);
17     }
18     for(int x = 1 ; x <= n ; ++ x) {
19         for(auto y: g[x]) vis[y] = x;
20         for(auto y: g[x])
21             for(auto z: g[y])
22                 if(vis[z] == x)
23                     ++ ans;
24     }
25     printf("%d\n", ans);
26 }

一個樣例程序