雙色球的機率和收益

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　　我買雙色球已經好多年了，一直相信「只要集齊七個球，就能大富大貴」，但這麼多年過去了，願望依舊沒有達成。最近一期的雙球又一次白白捐獻了2塊錢。長期來看，究竟是賠錢還賺錢？若是有一天賺錢了，可否抵得過個人投入？

　　

　　雙色球由紅球和藍球兩部份組成，紅球是由01到33個號碼中選擇，藍球是由01到16個號碼中選擇。每次開獎在紅色球中隨機搖出六個紅號,在藍球中隨機搖出一個藍號，下面是中獎條件和獎金：

　　直觀上，中5塊看起來比較容易，只要藍色球號猜中就行，但實際上機率僅有6.25%，至於一等獎就更困難了。

 

中獎的機率

　　先來複習一下不放回抽樣。

　　引例：設一批產品共有N個，其中有M個次品。每次從這批產品中隨機地抽出一件來檢查，檢查後不放回，共取n次(至關於一次同時取n件產品)，試求在n次檢查中有k次是次品的機率P_k。

　　從N件產品中抽取n件共有種不一樣的取法，現要求在抽取的一組n件產品中，有k件次品和n-k件合格品。由於這k件次品有種不一樣的取法，n-k件合格品有種不一樣的取法，所以最後的結果是：

　　

　　如今來看雙色球的中獎機率。

　　對於紅球來講，開獎號碼是排序的，既然中獎的規則只和彩票中是否有開獎號碼有關，與彩票上的號碼順序無關，那麼咱們不妨讓出票智能一點，打印出的彩票上的紅球也是排好序的，這樣一來，問題就轉換成了和引例同樣的不放回抽樣：

　　接下來只要把相應的k代入①中便可，固然，還要乘以藍球的相應機率：

　　大富大貴的機率約爲0.0000056%，1700萬分之一，500萬。

　　

　　二等獎是猜中6個紅球，而且猜錯藍球：

　　二等獎的機率大約爲0.0000846%，100萬分之一，約20~35萬。

　　

　　三等獎是猜中5個紅球和1和藍球，K=5：

　　大約0.000914%的機率中三等獎，11萬分之一，獎金是固定的，3000元。

　　

　　相似地，能夠算出四等獎和五等獎的中獎機率。

　　四等獎大約0.0434%，2300分之一，200元。

　　五等獎大約0.7758%，129分之一，10元。

　　六等獎1/16，5.889%，5元。

　　

　　2019年江蘇省高考報名合計48.4萬人，考上清華北大的有151人，至關於在一萬人中排名前三，3333人中排名第一才能考上清華北大，只比中200元的機率略高，比中3000元的機率高出10倍。有趣的是，絕大多數人都相信本身能人品爆發，中個大獎，再不濟也能中幾個3000元，卻不相信本身能考上清華北大。固然，這種想法是有理由的，買彩票能夠簡單的憑几率計算，而高考除了運氣外，天賦和努力程度纔是決定性因素。

　　無論怎麼說，數量龐大的彩民們一往無前地奔着大獎而去，這其中的付出和收益又有着怎樣的關係？

指望收益

　　雙色球的機率告訴了咱們中獎的可能性的大小，可是我更關注的是長期預測結果。雖然偶爾中個5塊10塊，但大多數時候都是顆粒無收，我想知道，在我有生之年中得的錢是否可以填平賠掉的錢？

　　

　　機率問題老是很關心分佈，咱們已經有了各等獎的機率分佈：

　　可是從上面的離散分佈中看不出收益，因而咱們對其進行改進，用隨機變量X表示每注彩票的收益：

　　爲了簡單起見，二等獎按照30W獎金計算。每注彩票2元，若是中了六等獎，則收益是5-2=3元，也就是賺了3元；若是未中獎則至關於賠了2元。

　　爲了計算長期收益，能夠先計算出每注彩票的指望收益：

　　這對於像我這種每天想着中大獎的人來講可不是個好結果，每注彩票竟然指望賠掉將0.98元！這固然不是個人指望，而是在統計學上的指望。

收益的變化幅度

　　每注彩票指望賠掉0.98元，我每一年買365張，10年下來，竟然告訴我指望賠掉，0.98×365×10=3577元！回想一下這些年的經歷，除了偶爾中個5塊10塊以外，彷佛只有一次中了200，當時被勝利衝昏了頭腦，花了500多元和好友大吃了一頓，這麼算來，賠掉的可不僅3577元。

　　賠掉0.98元只是每注彩票的平均收益，但實際上每一次開獎都存在收益的變化，不然每次都賠錢的話還有誰會買彩票呢？

　　咱們在前面的章節介紹過方差，做爲衡量實際問題的數字特徵，方差表明了問題的波動性。雙色球收益的方差和標準差：

　　這裏μ表明X的指望值。方差越小，結果的可預測性越高，每注彩票的平均收益越接近指望值。雙色球的方差已經超過147萬，這是個很大的波動，說明總體收益不可預期。標準差指明瞭每注彩票不可預測的收益與指望收益的平均距離。

　　從指望值上看，長期購買彩票是一種賠錢行爲，但方差又告訴咱們，一旦中了一等獎或二等獎，那麼全部賠的錢都不算個事。

隨機變量的線性變換

　　近幾年物價飛漲，看起來雙色球仍是比較有良心的，一直保持2元不變。但反過來看，2019年南京的房價已經超過每平米3.2W，500W扣掉稅以後也就勉強在南京這種新一線城市買個小戶型。

雙色球漲價了

　　如今雙色球漲價了，4元一注，按照有關部門的一向做風，中獎金額只提升了1.5倍，如今有了新的收益分佈：

　　收益和投入資金都與原來存在線性關係，所以咱們不想傻乎乎的根據指望值的公式去計算新收益的指望值。

　　隨機變量Y是新收益，X是原收益，咱們能夠獲得下面的關係：

　　這就把X和Y聯繫到了一塊兒，由此計算漲價後的指望收益：

　　這下賠的更多了。若是接着買的話，將來十年的指望收益是 -2.47×356×10 = -9015.1元，想一想常常尋找免費停車位的場景，9015.1元可不算小錢。

 

　　再來看方差，根據方差性質：

　　漲價後，每注彩票的收益更加不可預測，賠的和賺的均可能更多。

若是增長投入

　　仍是按2元一注計算，若是我天天買10注怎麼樣？會不會更可能贏錢？

　　這就要看怎麼買10注了。一種是買10注不一樣的，另外一種是全壓在相同的號碼上。

　　

　　先來看第一種。10注不一樣的號碼最多隻可能中一注，中獎機率提升到原來的10倍，每一次中獎收益也隨之變化：

　　雖然隨機變量U和X是線性關係，可是P(U=u)和P(X=x)不是線性的，其緣由是兩者未中獎的機率不相等，所以在求得新的指望收益時不能借助E[X]，只能從新計算：

　　指望收益和方差都變成了原來的10倍，這意味着從長期來看賠的更多，同時結果也更加不可預測。

　　

　　再來看另外一種，全壓在相同的號碼上。這裏簡單一點，把獎金簡單地翻倍：

　　機率質量和單買一注是一致的，每一等獎項（包括未中獎）的收益都是原來的10倍，方差是100倍：

　　如此下注，雖然長期來看賠的更多，可是一旦中了500W就基本能夠提早退休了。

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　　出處：微信公衆號 "我是8位的"

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