《數學之美》之談談密碼學

《數學之美》之談談密碼學

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聲明：如下內容或摘自或總結自吳軍老師的《數學之美》，因爲所理解能力有限，本文並不對內容的科學性進行考證，但求可以從中略窺知一二，則已是大有裨益了。而內容的科學性考證仍是交給一些領域專家們去作吧，我盡我所能普遍涉獵而已。

原始密碼學

兩千年前，相傳名將凱撒爲了防止敵方截獲情報，用密碼傳送情報。凱撒的作法很簡單，就是對二十幾個羅馬字母創建一張對應表，好比說

這樣，若是不知道密碼本，即便截獲一段信息也看不懂，好比收到一個的消息是EBKTBP，那麼在敵人看來是毫無心義的字，經過密碼本解破出來就是 CAESAR 一詞，即凱撒的名字。這種編碼方法史稱凱撒大帝。
以上原始的方法經過統計一下字母頻率就能夠破解。而若是編碼時，一對多，並隨機挑選，這樣就沒法經過統計破解。
好的密碼必須作到已知明文和密文的對應推斷不出新的密文內容，就是說沒法把握從密文到明文的轉換規律。

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信息論時代的密碼學

根據信息論，密碼最高的境界是敵方在截獲密碼時，信息量沒有增長。通常來說，當密碼分佈均勻並統計獨立，提供的信息最少，相似白噪聲就最難把握。
以早期著名的RSA算法爲例，說明公開密匙的加密過程。

有公匙和私匙之分，一個用於加密，一個用於解密；
兩個看似無關的密匙，在數學上是關聯的；

RSA算法

1. 找兩個很大的素數（質數）P 和 Q，越大越好，好比 100 位長的, 而後計算它們的乘積 N=P×Q，M=（P-1）×（Q-1）。

2. 找一個和 M 互素的整數 E，也就是說 M 和 E 除了 1 之外沒有公約數。

3. 找一個整數 D，使得 E×D 除以 M 餘 1，即 E×D mod M = 1。

其中 E 是公鑰，誰均可以用來加密，D 是私鑰用於解密，必定要本身保存好。乘積 N 是公開的，即便敵人知道了也不要緊。
咱們用下面的公式對 X 加密，獲得密碼 Y。

XE mod N=Y

好了，如今沒有密鑰 D，神仙也沒法從 Y 中恢復 X。若是知道 D，根據費爾馬小定理，則只要按下面的公式就能夠垂手可得地從 Y 中獲得 X。

YD mod N=X

公開密匙的好處

1.簡單。只是一些乘法而已。
2.可靠。公開密鑰方法保證產生的密文是統計獨立而分佈均勻的。也就是說，不論給出多少份明文和對應的密文，也沒法根據已知的明文和密文的對應來破譯下一份密文。更重要的是 N,E 能夠公開給任何人加密用，可是隻有掌握密鑰 D 的人才能夠解密, 即便加密者本身也是沒法解密的。這樣，即便加密者被抓住叛變了，整套密碼系統仍然是安全的。（而凱撒大帝的加密方法有一個知道密碼本的人泄密，整個密碼系統就公開了。）
3.靈活。能夠產生不少的公開密鑰E和私鑰D的組合給不一樣的加密者。

首先聲明世界上沒有永遠破不了的密碼，關鍵是它能有多長時間的有效期，一種加密方法只要保證50年內計算機破解不了就能夠滿意了。

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下面補充一些數學上的知識和段子：
摘自 http://www.cricode.com/1087.html

一個例子

A CHEF HIDE A BED
廚子藏起來了一張牀！這是如此的重要，須要當即通知總部。千萬重要的是，不能讓反革命的廚子知道。

第一步是轉碼，也就是將英文轉換成某個對應的數字。這個對應很容易創建，好比：

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
將上面的信息轉碼，得到下面的數字序列：

A CHEF HIDE A BED

1 3856 8945 1 254
這串數字徹底沒有什麼祕密可言。廚子發現了這串數字以後，很容易根據數字順序，對應字母表猜出來。

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改進

爲了和狡猾的廚子鬥智鬥勇，咱們須要對這串數字進一步加密。使用總部發給咱們的鎖，兩個數字：3和10。咱們分爲兩步處理。

第一步是求乘方。第一個數字是3，也就是說，總部指示咱們，求上面數字串的3次方：

原字符串: 1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4

三次乘方: 1 27 512 125 216 512 729 64 125 1 8 125 64

第二步是求餘數。第二個上鎖的數字是10，將上面每一個三次乘方除以10，得到其他數：

餘數： 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

將這串數字發回總部。中途被廚子偷看到，但一時不能瞭解其中的意思。若是仍是像剛纔同樣對應字母表的話，信息是：

AGBEFBIDEAHED

這串字母徹底不包含正常的單詞。

信息到了總部。總部開始用神奇的鑰匙來解讀。這個鑰匙是3。(偷偷告訴你的，別告訴廚子。)

（這裏鑰匙不當心和以前鎖中的一個數字相同。這只是巧合。）

解鎖過程也是兩步。第一步求鑰匙次的乘方，即3次方。第二步求它們除以10（鎖之一）的餘數。

加密信息：1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

三次乘方：1 343 8 125 216 8 729 64 125 1 512 125 64 (這裏用的是鑰匙的「3」)

除十得餘：1 3 8 5 6 8 9 4 5 1 2 5 4

正是咱們發送的信息。對應字母表，總部能夠當即知道原來的信息。

特工練習

再次強調，爲了演示方便，選用了簡單的鎖和鑰匙。鎖和鑰匙只是湊巧相同。爲此，咱們作一個小練習。

練習：總部新公佈出來的鎖是2987(次乘方)和3937(爲除數)。

1) 做爲特工，用上面的算法爲信息加密(你可能須要一些編程來計算，嘗試用Python的數學計算功能？)。

猜到鑰匙是什麼了呢？不是上面兩個數字中的任何一個，而是143！

2) 做爲值班人員，驗證143是鑰匙，能夠解密信息。

爲了簡便，你能夠只檢驗一個簡單的信息，好比「IE」。

費馬與歐拉

發覺本身被愚弄了，廚子很生氣，後果很嚴重。廚子發奮看了書，知道了這個加密方法叫RSA，是三爲發明人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起來的。RSA算法是1977年發明的。全稱是RSA Public Key System。這個」Public Key」是公共密鑰，也就是咱們上面說的鎖。再讀下去，廚子大窘。這個1977年的，現代計算機加密的RSA算法，竟然源於17世紀。

1. 費馬小定律

RSA的原理藉助了數論中的「歐拉定理」(Euler’s theorem)。17世紀的費馬首先給出一個該定理的特殊形式，即「費馬小定理」：

p是一個正的質數，a是任意一個不能被p整除的整數。那麼， ap−1−1 能被p整除。

咱們並不須要太深刻了解費馬小定理，由於等下就會看到這個定理的「升級版」。但這個定理依然很美妙，它優美的獲得乘方和整除的某種特殊關係。使用一個例子來講明它。好比p=7，a=3。那麼費馬小定律表示， 37−1−1 能夠被7整除。

事實上，上面的數字計算獲得 36−1=728 ，它確實能夠被7整除。

數學小貼士：

1) 除 (divide)，商和餘數：兩個整數相除，有一個爲整數的商，和一個餘數。好比10/3=3,餘1。咱們用一個特別的方式記錄這一敘述:

10≡1(mod3)

也能夠寫成另外一種方式：

[10]3=[1]3

這一表述方式與「10除以3，得3餘1」這樣的方式並無什麼區別。但採用標準的數學方式更容易和別人交流。

若是咱們知道：

[a]n=[b]n

那麼存在某個整數t，且：

a=nt+b

2) 整除 (divisible)：當一個整數a除以另外一個整數b，餘數爲0時，那麼咱們說a能夠被b整除。好比說，4能夠被2整除。即

[4]2=[0]2

3) 質數 (prime number)：一個質數是隻能被±1和這個數自身整除的整數（不包括±1）。好比2，3，5，7，11，13等等。

加密方法是將原來的某種信息按照某個規律打亂。某種打亂的方式就叫作密鑰(cipher code)。發出信息的人根據密鑰來給信息加密，而接收信息的人利用相同的密鑰，來給信息解密。就好像一個帶鎖的盒子。發送信息的人將信息放到盒子裏，用鑰匙鎖上。而接受信息的人則用相同的鑰匙打開。加密和解密用的是同一個密鑰，這種加密稱爲對稱加密（symmetric encryption）。

若是一對一的話，那麼兩人須要交換一個密鑰。一對多的話，好比總部和多個特工的通訊，依然可使用同一套密鑰。但這種狀況下，對手偷到一個密鑰的話，就知道全部交流的信息了。二戰中盟軍的情報戰成果，不少都來自於破獲這種對稱加密的密鑰。

對稱加密的薄弱之處在於給了太多人的鑰匙。若是隻給特工鎖，而總部保有鑰匙，那就容易了。特工將信息用鎖鎖到盒子裏，誰也打不開，除非到總部用惟一的一把鑰匙打開。只是這樣的話，特工每次出門都要帶上許多鎖，太容易被識破身份了。總部老大想了想，乾脆就把造鎖的技術公開了。特工，或者任何其它人，能夠就地取材，按照圖紙造鎖，但沒法根據圖紙造出鑰匙。鑰匙只有總部的那一把。

關鍵是鎖和鑰匙工藝不一樣。知道了鎖，並不能知道鑰匙。這樣，銀行能夠將「造鎖」的方法公佈給全部用戶。每一個用戶能夠用鎖來加密本身的信用卡信息。即便被別人竊聽到，也不用擔憂：只有銀行纔有鑰匙呢！這樣一種加密算法叫作非對稱加密(asymmetric encryption)。非對稱加密的經典算法是RSA算法。它來自於數論與計算機計數的奇妙結合。

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2015-9-16 藝少