Codeforces 570E - Pig and Palindromes - [滾動優化DP]

題目連接：https://codeforces.com/problemset/problem/570/E

 

題意：

給出 $n \times m$ 的網格，每一格上有一個小寫字母，如今從 $(1,1)$ 位置走到 $(n,m)$ 位置，要求通過路徑構成一個迴文串。

要求走路方向保證座標不會減少（即只能往下或者往右走），要求你給出路徑方案數目。

 

題解：

考慮 $f[x_1][y_1][x_2][y_2]$ 表示一端從 $(1,1)$ 出發，走到了 $(x_1,y_1)$，同時另外一端從 $(n,m)$ 出發，走到了 $(x_2,y_2)$，此時造成迴文串的數目。

這個是不難維護的，主要問題是這個維數過多，開不下。而後不難發現，若是用 $f[step][x_1][x_2]$ 來維護，能夠經過步數 $step$ 和 $x$ 算出 $y$，

而後更進一步能夠發現 $step$ 不須要所有維護，能夠使用滾動優化。

 

AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int SIZE=505;

int n,m;
char mp[SIZE][SIZE];
ll f[2][SIZE][SIZE];

inline bool In(int x,int y)
{
    return 1<=x && x<=n && 1<=y && y<=m;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);

    int now=0;
    memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
    f[now][1][n]=(ll)(mp[1][1]==mp[n][m]);
    for(int step=1;step<=(n+m)/2-1;step++)
    {
        now^=1;
        memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
        for(int x1=1;x1<=n;x1++)
        {
            for(int x2=n;x2>=1;x2--)
            {
                int y1=step+2-x1, y2=n+m-step-x2;
                if(!In(x1,y1) || !In(x2,y2)) continue;
                if(mp[x1][y1]!=mp[x2][y2]) continue;

                f[now][x1][x2]+=f[now^1][x1][x2];
                f[now][x1][x2]%=mod;

                f[now][x1][x2]+=f[now^1][x1-1][x2+1];
                f[now][x1][x2]%=mod;

                f[now][x1][x2]+=f[now^1][x1-1][x2];
                f[now][x1][x2]%=mod;

                f[now][x1][x2]+=f[now^1][x1][x2+1];
                f[now][x1][x2]%=mod;
            }
        }
    }

    ll ans=0;
    if((n+m)%2)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[now][i][i], ans%=mod;
        for(int i=1;i<n;i++) ans+=f[now][i][i+1], ans%=mod;
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[now][i][i], ans%=mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
}