由 -128 引起的思考

　　對於 8 位的有符號數而言，它的範圍在 -128~127。該數的範圍若在 -127~127，那還好理解，但關鍵該數還可取值 -128。那 -128 是怎麼來的呢？

-128 的來源

說法一

　　有人就說了，8 位的有符號數除了表示 -127~127，還剩下一個二進制數 「1000 0000B」沒有用，這太浪費了，因此用來表示 -128。這種說法很明顯是站不住腳的。緣由主要有兩個：1）既然浪費，那該二進制數也可用來表示除了 -128 以外的數；2）數學是一門嚴謹的語言，不存在如此模糊的說法。

說法二

　　還有一個說法，來自百度文庫的一篇文章，即做者經過以下的列舉法：

正數：補碼跟原碼同樣
+127, 0111 1111
+126, 0111 1110
+125, 0111 1101
+124, 0111 1100
+123, 0111 1011
+122, 0111 1010
...
+4,   0000 0100
+3,   0000 0011
+2,   0000 0010
+1,   0000 0001
0,    0000 0000 (無正負之分)

負數：
值     原碼       反碼        補碼
-1,   1000 0001, 1111 1110, 1111 1111
-2,   1000 0010, 1111 1101, 1111 1110
-3,   1000 0011, 1111 1100, 1111 1101
-4,   1000 0100, 1111 1011, 1111 1100
-5,   1000 0101, 1111 1010, 1111 1011
-6,   1000 0110, 1111 1001, 1111 1010
-7,   1000 0111, 1111 1000, 1111 1001
-8,   1000 1000, 1111 0111, 1111 1000
-9,   1000 1001, 1111 0110, 1111 0111
-10,  1000 1010, 1111 0101, 1111 0110
-11,  1000 1011, 1111 0100, 1111 0101
-12,  1000 1100, 1111 0011, 1111 0100
-13,  1000 1101, 1111 0010, 1111 0011
-14,  1000 1110, 1111 0001, 1111 0010
-15,  1000 1111, 1111 0000, 1111 0001
-16,  1001 0000, 1110 1111, 1111 0000
-17,  1001 0001, 1110 1110, 1110 1111
...
-24,  1001 1000, 1110 0111, 1110 1000
...
-99,  1110 0011, 1001 1100, 1110 0100
...
-124, 1111 1100, 1000 0011, 1000 0100
-125, 1111 1101, 1000 0010, 1000 0011
-126, 1111 1110, 1000 0001, 1000 0010
-127, 1111 1111, 1000 0000, 1000 0001

按照規律， -127 的補碼再往下應該還有補碼 「1000 0000」，該二進制數表示 -128。　

　　做者的列舉法看起來確實形象了許多，但卻仍未可以解釋根本的數學原理。

說法三

　　這種說法是我的的想法，不過跟說法二同樣，都是爲了解釋而解釋。

　　咱們知道 -128 = -127 - 1，那咱們就能夠經過 -127 和 -1 的相加獲得 -128 的補碼了。而 -127 的補碼爲 1000 0001，-1 的補碼爲 1111 1111，二者相加獲得的結果是 1 1000 0000。由於只有 8 位可表示，因此咱們能夠舍掉補碼最高位 1，剩下的就表示 -128 的補碼了，也即 -128 的補碼爲 1000 0000。

　　這種說法就更加問題多多，並且還牽扯到了溢出問題。

說法四

　　最靠譜的說法必定是來自嚴格的數學推導或定理。

　　通常而言，在計算機中對有符號數的表示方式採用的是 Two's complement （實際上就是補碼）方法。它的數學公式以下：

　　

　　這樣咱們很容易就能夠獲得下邊幾個例子：

　　

　　同理能夠獲得：

　　

　　這樣補碼 「1000 0000」 表示 -128 的問題就能夠解決了。咱們所以知道，對於有 w 位補碼（不是原碼或反碼），它可以表示的範圍在：。

　　固然，用補碼來計算咱們得保證其運算過程的正確性。這方面可參考《深刻理解計算機系統》第 2 章「信息的表示和處理」的第 2.3 節「整數運算」。

-128 + 127 = -1 ？

　　在實際研究中，還遇到一些感受很奇怪的問題，例如 -128 加上 127 應該等於多少。咱們從上文已經知道 -128 的補碼是 1000 0000，而 127 的補碼是 0111 1111，那 -128+127 的結果用補碼錶示就是 1111 1111。在思惟沒有切換到原碼以前，老是將 1111 1111 當作 -127，而沒有將其由補碼轉化爲原碼，從而致使理解上的錯誤。

　　因此，得時刻記住下圖：