組合數學及其應用——polya計數

  在處理相似下面的問題中，通常的計數方法會出現問題：假如你要用紅、藍兩種顏色給一個正四面體的四個頂點着色，試問存在多少種不一樣的着色方案？

  在高中咱們經常使用的方法是模擬塗色過程，分狀況討論，而後基於分步乘法原理。可是在那裏沒有考慮幾何體經過旋轉等操做帶來的對稱性，在本文中，咱們就來介紹一種專門處理這類問題的工具——Polya計數。

 

  首先咱們要作的是引入一些基本的概念。 

   置換：

 

 

關於置換更多的細節咱們在《抽象代數基礎教程》中繼續討論，這裏咱們只需簡單的瞭解其概念便可。

關於置換還須要瞭解的就是它的合乘運算。

 

置換這個工具能夠方便咱們符號化圖形的對稱分析過程，下面給出要給很是簡單的例子，以幫助理解置換如何描述幾何體的對稱。

考察以下的正方形。

(一個正方形，四個頂點爲1234)

咱們須要去思考，如何利用置換來描述那些運動，使得正方形位置沒變(可是對應標號的頂點可能發生了移動)。

容易看到符合要求的運動有兩類。

1)  將正方形繞中心旋轉(取順時針便可)0°、90°、180°、270°.

2)  將正方形按照兩條對角線和兩條對邊中點連線，立體得翻轉180°。

那麼咱們能夠發現運動前的正方形頂點序號和運動後的，其實就造成了一個置換。

此時咱們開始給出染色方案的數學描述。

基於以上的鋪墊，咱們能夠給出Burnside引理，用於給出一個計數非等價着色數的公式。

在給出Burnside定理以後，咱們下面結合幾個簡單的題目，來增強對這個定理的理解。

問題到這裏，就獲得很大的改觀，以前咱們須要基於置換羣和着色集合，進行遍歷考察來計算Burnside定理和式的通常項，而如今咱們只須要，分析置換羣G中的每一個置換，而後結合顏色數，就能夠進行計算了。

 

咱們還須要進一步努力，由於從定理4能夠看到，咱們用k種顏色造成着色集合，是沒有顯示顏色的出現次數的，而若是規定某種顏色的出現的次數，咱們應該如何處理呢？

最後咱們給出立方體的非等價的染色分析，在通常帶的考察polya的題目中容易考察可是其對稱羣較爲繁冗容易出錯，所以最好一次分析以後記住結論。

例子(立方體的頂點與面的着色)：

用制定數量的顏色對立方體的頂點和麪進行着色，嘗試求立方體的對稱羣和非等價的着色方案數目。

考察立方體的對稱操做，它們一共可分爲以下的四種類型共24種對稱：

(1) 恆等對稱1個。

(2) 固定一對對立面進行旋轉：

  (a)90°

  (b)180°

  (c)270°

因爲共有三對對立面，因此上面各有3個共9個。

(3) 繞一對對邊重點連線旋轉180°，因爲有6對，這裏有6個對稱。

(4) 繞對頂點進行旋轉：

    (a)120°

    (b)240°

能夠看到一個立方體的對稱羣友24個置換，下面咱們只須要考察每一個置換f的type(f)，以期獲得立方體的非等價染色的生成函數。

同理咱們能夠對面對稱羣進行徹底同樣的討論，結果以下：