極大極小算法簡介

概念

• Minimax算法 又名極小化極大算法，是一種找出失敗的最大可能性中的最小值的算法（即最小化對手的最大得益）。一般以遞歸形式來實現。
• Minimax算法經常使用於棋類等由兩方較量的遊戲和程序。該算法是一個零總和算法，即一方要在可選的選項中選擇將其優點最大化的選擇，另外一方則選擇令對手優點最小化的一個，其輸贏的總和爲0（有點像能量守恆，就像自己兩個玩家都有1點，最後輸家要將他的1點給贏家，但總體上仍是總共有2點）。不少棋類遊戲能夠採起此算法，例如tic-tac-toe。

主要應用場景

• 零和遊戲（Zero-sum Game）：意思就是你死我活，一方的勝利表明另外一方的失敗，好比，象棋，五子棋等。
• 徹底信息（Perfect Information）：玩家知道以前全部的步驟。象棋就是徹底信息，由於玩家是交替着落子，且以前的步驟都能在棋盤上體現，可是石頭剪子布就不是。這樣的遊戲一般能夠把他們看做一個樹狀圖，把每一種可能性列出來。

例子

• 井字棋遊戲，Max表明你本身，Min表明你的對手。
  
• 這個時候咱們須要給每一種結果一個分數，就是這裏的Utility。這個分數是站在我本身（也就是Max）的角度評估的，好比上圖中我贏了就是＋1，輸了是－1，平局時0。因此，我但願最大化這個分數，而個人對手但願最小化這個分數。（在遊戲中，這個分數被稱爲static value。）
• 過程：
  • 首先，因爲雙方都採用最優策略行棋，即知道從當前開始到結束的全部棋局狀態，再從中選擇最有利於本身的棋局，
  • 故雙方都知道最終的全部棋局狀態，所以有下圖：
    
  • 從結果看起，也就是第4步。圖中標註第四步是個人對手下的，因此他要作的是最小化這個分數，因而對手根據結果能夠反推出以下選擇
    
    
  • 從後往前看到第3步，當咱們知道了對手的選擇之後，咱們能夠根據對手的結果反推出本身的選擇，咱們要作的是最大化這個分數，如圖
    
  • 咱們最終能夠發現第一步的最優選擇，如圖
    

筆記

• 該算法從結果入手，分別選擇最有利於自身的策略。
• 經過設置最大值最小值來實現有利於自身的策略。
• 經過輪流取大取小來模擬兩人博弈。

優化 （Alpha-Beta剪枝）

• 首先將遊戲簡化如圖所示：
  
• 可是，最後一步的分數其實也須要計算機來算（static evaluation），因此咱們並不會一開始就有全部的數據，其實咱們一開始是這樣的
  
• 而後，計算機給出了第一個分數
  
• 當給出了這個分數的時候，咱們站在步驟1看，不管另外一分支的數字是多少，步驟1左邊方框的數字不會超過2。由於第2步是個人對手下的，他但願分數儘量的小，也就是這樣的
  
• 這個時候，電腦再計算另外一分支的分數，也就是7。知道另外一分數是7之後，也就知道步驟1的左邊方框分數爲2。這時，咱們往前看一步（步驟0）。步驟0的分數是大於等於2，由於我要最大化分數。如圖
  
• 如今，再來計算右邊分支的分數，獲得了1。同理，咱們站在步驟1來看，右邊方框中的數不會超過1，如圖
  
• 在這個狀況下，即便我不算最後一個數字，我也能知道在步驟0的結果爲2，由於已知步驟1中的右邊方框，數值不會超過1。因此咱們就能直接知道結果，也就是
  
• 們能夠看到，加上剪枝算法，咱們不只獲得了相同的結果，並且減小了計算量。在實際應用中，加上剪枝算法，計算機大約須要算2*n^(x/2)個結果，若是n爲分支數，x爲步數。相比於以前僅用極小極大算法的n^x，效率提升了不少。