JavaScript 實現最長非降低子序列

題目

首先先引一道動態規劃的經典問題 最長非降低子序列 它的定義是: 設有由n個不相同的整數組成的數列b[n],如有下標i1<i2<···<iL 且 b[i1]<b[i2]<···<b[iL] 則稱存在一個長度爲L的不降低序列。

例如：

13,7,9,16,38,24,37,18,44,19,21,22,63,15

那麼就有13<16<38<44<63長度爲5的不降低子序列。 可是通過觀察實際上還有7<9<16<18<19<21<22<63長度爲8的不降低子序列，那麼是否還有更長的不降低子序列呢？請找出最長的不降低子序列

要求實現一個方法，輸入參數是一個數組，返回最長的非降低子序列

實現思路

假如要求得某一段的最優，就要想更小段的最優怎麼求，再看看由最小段的最優可否擴大推廣到最大段的最優;

假設這麼一個表

序列下標	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
序列數值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列長度	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
連接位置	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

第三行表示該序列元素的所能鏈接的最長不降低子序列的長度，由於自己長度爲1，因此初始值都爲1. 第四行表示連接於哪一個序列元素造成最長不降低子序列

再看倒數第三項22，在它的後面有2項，所以必需要在這2項當中找出比22大，長度又是最長的數值做爲連接，因爲只有22<63,因此修改22的長度爲2，即自身長度加上所連接數值的長度，並修改連接位置爲12，也就是63的下標。

再看倒數第四項21，在它的後面有3項，所以必需要在這3項當中找出比21大，長度又是最長的數值做爲連接(注意:是長度)，很容易看出，數值22知足該條件，所以，修改21的長度爲3，並修改連接位置爲11，即22的序列下標。

依次類推，最後結果以下表:

序列下標	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
序列數值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列長度	7	8	7	6	3	4	3	5	2	4	3	2	1	1
連接位置	3	2	3	7	8	6	8	9	12	10	11	12	-1	-1

最終狀態的轉移方程式爲: 且 \(f(i)=maxf(j)+1(b_j<b_i且i<j)\) .時間複雜度爲O(n^2)

JavaScript 實現

function getLongAscArr(inputArr) {
        var numArr = [1];
        var idxArr = [-1];
        var len = inputArr.length;
        for (var l = len - 1; l--;) {
            var num = 1;
            var idx = -1;
            var nLen = numArr.length;
            for (var i = 0; i < nLen; i++) {
                var nIdx = l en - nLen + i;
                if (inputArr[l] <= i nputArr[nIdx]) {
                    if (numArr[i] >= num) {
                        num = numArr[i] + 1;
                        idx = nIdx;
                    }
                }
            }
            numArr.unshift(num);
            idxArr.unshift(idx);
        }
        var max = numArr[0];
        var idx = 0;
        for (var i = 1; i < numArr.length; i++) {
            if (numArr[i] > max) {
                max = numArr[i];
                idx = i;
            }
        }
        var ascArr = [];
        while (idx > -1) {
            ascArr.push(inputArr[idx]);
            idx = idxArr[idx];
        }
        return ascArr;
    }
    var arr = [13, 7, 9, 16, 38, 24, 37, 18, 44, 19, 21, 22, 63, 15];
    console.log(getLongAscArr(arr));

參考資料

https://xxsxjh.github.io/2017/02/02/Dynamic-1/