傅里葉變換在圖像處理中的做用

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         傅立葉變換在圖像處理中很是的有用。由於不只傅立葉分析涉及圖像處理的不少方面，傅立葉的改進算法，

 好比離散餘弦變換，gabor與小波在圖像處理中也有重要的份量。

 印象中，傅立葉變換在圖像處理如下幾個話題都有重要做用：
 1.圖像加強與圖像去噪
絕大部分噪音都是圖像的高頻份量，經過低通濾波器來濾除高頻——噪聲; 邊緣也是圖像的高頻份量，能夠經過添加高頻份量來加強原始圖像的邊緣；
2.圖像分割之邊緣檢測
提取圖像高頻份量
3.圖像特徵提取：
形狀特徵：傅里葉描述
紋理特徵：直接經過傅里葉係數來計算紋理特徵
其餘特徵：將提取的特徵值進行傅里葉變換來使特徵具備平移、伸縮、旋轉不變性
4.圖像壓縮
能夠直接經過傅里葉係數來壓縮數據；經常使用的離散餘弦變換是傅立葉變換的實變換；

傅立葉變換
傅里葉變換是將時域信號分解爲不一樣頻率的正弦信號或餘弦函數疊加之和。連續狀況下要求原始信號在一個週期內知足絕對可積條件。離散狀況下，傅里葉變換必定存在。岡薩雷斯版<圖像處理>裏面的解釋很是形象：一個恰當的比喻是將傅里葉變換比做一個玻璃棱鏡。棱鏡是能夠將光分解爲不一樣顏色的物理儀器，每一個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換能夠看做是數學上的棱鏡，將函數基於頻率分解爲不一樣的成分。當咱們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。一樣,傅立葉變換使咱們能經過頻率成分來分析一個函數。
傅立葉變換有不少優良的性質。好比線性，對稱性（能夠用在計算信號的傅里葉變換裏面）;

時移性：函數在時域中的時移，對應於其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

頻移性：函數在時域中乘以e^jwt，可使整個頻譜搬移w。這個也叫調製定理，通信裏面信號的頻分複用須要用到這個特性（將不一樣的信號調製到不一樣的頻段上同時傳輸）；
卷積定理：時域卷積等於頻域乘積；時域乘積等於頻域卷積（附加一個係數）。（圖像處理裏面這個是個重點）

信號在頻率域的表現
在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當頻率爲0時，表示直流信號，沒有變化。所以，頻率的大小反應了信號的變化快慢。高頻份量解釋信號的突變部分，而低頻份量決定信號的總體形象。
在圖像處理中，頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，所以反應在頻域上是高頻份量；圖像的噪聲大部分狀況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則爲低頻份量。也就是說，傅立葉變換提供另一個角度來觀察圖像，能夠將圖像從灰度分佈轉化到頻率分佈上來觀察圖像的特徵。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對圖像處理而言，如下概念很是的重要：

圖像高頻份量：圖像突變部分；在某些狀況下指圖像邊緣信息，某些狀況下指噪聲，更可能是二者的混合；
低頻份量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息
高通濾波器：讓圖像使低頻份量抑制，高頻份量經過
低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻份量抑制，低頻份量經過
帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息經過，其餘太低或太高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理
在時域內作模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。模板運算是圖像處理一個很重要的處理過程，不少圖像處理過程，好比加強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中廣泛用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。所以，在時域內對圖像作模板運算就等效於在頻域內對圖像作濾波處理。
好比說一個均值模板，其頻域響應爲一個低通濾波器；在時域內對圖像做均值濾波就等效於在頻域內對圖像用均值模板的頻域響應對圖像的頻域響應做一個低通濾波。

圖像去噪
圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。所以，若是噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是須要用一個低通濾波器對圖像進行處理。經過低通濾波器能夠抑制圖像的高頻份量。可是這種狀況下經常會形成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻份量，模糊圖像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈衝型噪聲有很好的去掉。由於脈衝點都是突變的點，排序之後輸出中值，那麼那些最大點和最小點就能夠去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽噪聲：對於椒鹽採用中值濾波能夠很好的去除。用均值也能夠取得必定的效果，可是會引發邊緣的模糊。
高斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分佈，好像比較困難。
岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤爲是後者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合於處理脈衝噪聲。

圖像加強
有時候感受圖像加強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像加強常常是須要加強圖像的邊緣，以得到更好的顯示效果，這就須要增長圖像的高頻份量。而圖像去噪是爲了消除圖像的噪音，也就是須要抑制高頻份量。有時候這兩個又是指相似的事情。好比說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提高了，那麼，這時候就是一樣的意思了。
常見的圖像加強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基於像素點的變換，後面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波後的份量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是爲了提升圖像的對比度，也就是使圖像看起來差別更明顯一些，我想，通過這樣的處理之後，圖像也應該加強了圖像的高頻份量，使得圖像的細節上差別更大。同時也引入了一些噪音。