分層圖最短路 亂搞分享

寫在前面

　　這篇寫到的作法並非真正的分層圖，只是一個假的低配版算法。

　　【我這麼菜哪裏會分層圖呢？(╯▔皿▔)╯

　　動態規劃。

問題

　　【既然不是真的分層圖，那麼就不說什麼是分層圖了。

　　該算法能解決的問題：

　　　　在一張帶權圖上面，有k次機會修改邊權【非同一條邊，求從起點到終點的最短路。

　　假如會分層圖的話，就是一個闆闆。

思考

　　那麼不會的話怎麼辦？

　　老是會有一些巨巨給予菜雞福音。

　　不知是哪位神犇想出來了簡單的動態規劃，解決了這個問題。

解法

　　首先確認，點數 * 修改次數 可以存成一個二維數組。

　　而後，定義 dp[ i ][ j ]表示從起點到 j 的最短路【修改 i 次

　　觀察定義咱們能夠發現：

　　　　對於每一種狀況，咱們只須要跟普通的dp同樣，分紅選與不選兩種狀況討論。

　　　　惟一的不一樣就是，通常的dp是在求 i 的時候，使用 i-1 轉移，可是如今是從 i 直接向 i+1 進行轉移。

　　關於計算咱們能夠把最短路修改一部分，獲得下面的式子

         　　if(nw.x+tr[i].val<dis[num][y]) {
                dis[num][y]=nw.x+tr[i].val;
                q[num].push((node){dis[num][y],y});
            }
            if(num!=k&&nw.x<dis[num+1][y]) {
                dis[num+1][y]=nw.x;
                q[num+1].push((node){dis[num+1][y],y});
            }    

　　這樣的話，咱們經過k次最短路的計算最後輸出dp[ k ][ n ]就ok。

菜題練手

　　P2939 改造路

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=50009;
int n,m,k;
int head[maxn],ecnt;
struct ss{
    int to,nxt,val;
}tr[maxn<<1];

inline void add(int a,int b,int c) {
    tr[++ecnt].nxt=head[a];
    tr[ecnt].to=b;
    tr[ecnt].val=c;
    head[a]=ecnt;
    return;
}

int dis[25][maxn];//通過k次改造以後到i的最短路 
struct node{
    int x,id;
    bool operator < (const node &a) const{
        return x>a.x;
    }
};
priority_queue<node> q[25];
bool vis[25][maxn];

void dij(int num) {
    while(!q[num].empty()) {
        node nw=q[num].top();
        q[num].pop();
        int x=nw.id;
        if(vis[num][x]) 
            continue;
        vis[num][x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=tr[i].nxt) {
            int y=tr[i].to;
            if(vis[num][y])
                continue;
            if(nw.x+tr[i].val<dis[num][y]) {
                dis[num][y]=nw.x+tr[i].val;
                q[num].push((node){dis[num][y],y});
            }
            if(num!=k&&nw.x<dis[num+1][y]) {
                dis[num+1][y]=nw.x;
                q[num+1].push((node){dis[num+1][y],y});
            }
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    for(int i=0;i<=k;i++) 
        for(int j=1;j<=n;j++) 
            dis[i][j]=1e9;
    dis[0][1]=0;
    q[0].push((node){0,1});
    for(int i=0;i<=k;i++) 
        dij(i);
    cout<<dis[min(m,k)][n]<<endl;
    return 0;
}

附送 P2939 代碼一份

　　P2296 尋找道路

　　P4822 凍結

　　P4568 飛行路線

　　P1948 電話線

若是能夠仍是去學學分層圖吧