動態規劃：LC121.買賣股票的最佳時機

題目描述：
給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。 若是你最多隻容許完成一筆交易（即買入和賣出一支股票一次），設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。 注意：你不能在買入股票前賣出股票。

思路：

動態規劃的 5 個步驟：

一、設定狀態

這道題實際上是一個典型的二維 dp 問題。「動態規劃」用於多階段最優化問題的求解。這裏天數表明每一個階段，即一天一天看，設置爲第一維。爲了消除後效性（前面的狀態肯定下來之後不會由於後面狀態而更改），將當天是否持股設置爲第二維的狀態。因而：

狀態 dp[i][j] 表示：在下標爲 i 的這一天，用戶手上持股狀態爲 j 所得到的最大利潤。

說明： j 只有 2 個值：0 表示不持股（特指賣出股票之後的不持股狀態），1 表示持股。 「用戶手上不持股」不表明用戶必定在下標爲 i 的這一天把股票拋售了；

二、思考狀態轉移方程

• dp[i][0] 怎樣轉移？

dp[i - 1][0] ：固然能夠從昨天不持股轉移過來，表示從昨天到今天什麼都不操做，這一點是顯然的；

dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持股，就在下標爲 i 的這一天，我賣出了股票，狀態由 1 變成了 0，此時賣出股票，所以加上這一天的股價。

綜上：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

• dp[i][1] 怎樣轉移？

dp[i - 1][1] ：昨天持股，今天什麼都不操做，固然能夠從昨天持股轉移過來，這一點是顯然的；

-prices[i]：注意：狀態 1 不能由狀態 0 來，由於事實上，狀態 0 特指：「賣出股票之後不持有股票的狀態」，請注意這個狀態和「沒有進行過任何一次交易的不持有股票的狀態」的區別。

所以，-prices[i] 就表示，在下標爲 i 的這一天，執行買入操做獲得的收益。注意：由於題目只容許一次交易，所以不能加上 dp[i - 1][0]。

綜上：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);

三、考慮初始值

第 0 天不持股，顯然 dp[0][0] = 0；

第 0 天持股，顯然dp[0][1] = -prices[0]。

四、考慮輸出

從狀態轉移方程能夠看出，每一天的狀態都考慮了以前的狀態。在只發生一次交易的狀況下，持有這支股票必定不能使咱們得到最大利潤。所以輸出是 dp[len - 1][0]，不多是持股的狀態 dp[len - 1][1]，

做者：liweiwei1419 連接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/solution/bao-li-mei-ju-dong-tai-gui-hua-chai-fen-si-xiang-b/

代碼：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //定義狀態：dp[i][j]--在第i天，用戶持股狀態爲j時所得到的最大利潤。  
        //狀態關係：dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+price[i]);
        //          dp[i][1]=max(dp[i-1][1],-price[i]); ---j不能由0->1,因此只是-price[i]
        //初始值：dp[0][0]=0--不持股利潤爲0；dp[0][1]=-price[0]  
        
        //if(prices==null) return 0;   wrong!
        int len=prices.length;
        if(len<2) return 0;
        int[][] dp=new int[prices.length+1][2];
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
        }
        return dp[len-1][0];
    }
}