深刻淺出網絡流

最小割

最大權閉合子圖

閉合子圖是什麼？

就是一個有向無環連通圖。

最大權閉合子圖就是說，圖上的節點有正有負，咱們要選出權值最大的點集。

建圖過程：

1. \(S\xrightarrow{w(i)} i\ (w(i)>0)\)
2. \(i\xrightarrow{\infty} j\ ((i,j)\in E)\)
3. \(i\xrightarrow{-w(i)}T\ (w(i)<0)\)

而後跑最大流，用\(\sum w(i)\ (w(i)>0)\)（全部正權點的權值和）減去求出來的最大流（最小割）就是答案。

爲何要這樣呢？

分類討論：

1. 若是正權邊被割了，那就說明在最小割中，正權邊\(\leqslant\)對面的負權邊（不然被割掉的就不會是正權邊而是負權邊），對應的狀況就是：選了正權邊以後，正權邊所連通的負權邊比正權邊還大（在絕對值上），這樣選就虧本了，因此才須要割掉（在代碼中就是從正權點的權值和中減去）。
2. 若是負權邊被割了，就說明正權邊比負權邊大，選了以後不會虧本，割掉的只是選了這個正權點所付出的最小成本。

（感受這個是最小割當中最好理解的了……）

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8.6 老師提了一個挺有意思的模型：

有若干個活動，分別須要一些房子。使用房子有兩種方式：

1. 每一個活動分別租一間
2. 直接買一間，這樣每一個活動都能使用，不須要再額外租。

就是說，一個負權點的代價能夠有不止一種形式。

這樣的話，本來那些鏈接正權點和負權點的，容量爲\(\infty\)的邊就有用了：

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二選一模型

就是，一個節點有兩種代價（或者收益），還有一些限制，讓你找出最小的代價（最大的收益）

若是沒有其餘限制的話很簡單：將兩種代價（或者收益）一種連向\(S\)，另外一種連向\(T\)，而後求出最小割，最小割就是最小的代價（若是是收益的話，就是必需要捨棄的最小收益）。

1. 若是\(a\)被割給了\(S\)，\(b\)被割給了\(T\)，就有相應的代價；（雙核CPU、善意的投票）
2. 若是一個點集被割給了\(S\)，就有相應的收益；（壽司餐廳、Happiness、小M的做物）
3. 若是一個點被割給了\(S\)，而且一個點集\(V'\)中有一個點被割給了\(T\)，就有相應的代價。

第一種

\[S\xrightarrow{w(a)} a \xrightarrow{\text{代價}}b \xrightarrow{w'(b)}T\]

這樣的話，求出最小割以後，割掉的就是最小的代價。

固然，像善意的投票就只須要根據意願在\(S\)和\(T\)之間二選一便可（代價仍是照樣連）

第二種

代價是用來最小化的，因此用最小割能夠直接解決，那收益呢？

不要緊，能夠先把收益都加起來，而後再把收益當成代價去建弧，跑最小割。

這樣，割掉的就是最小的收益，剩下的收益天然就是最大的了。

第三種

（記不得老師講什麼了，本身腦補的）

\[T\xleftarrow{w(a)} a \xleftarrow{代價} x(附加點) \xleftarrow{\infty}(v\in V')\xleftarrow{w(v)} S\]

（畫反了，不想調）

（由於例題少因此就不講了，反正最小割目前只接觸了這兩種模型）

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二分圖

\(\mathrm{DAG}\)最小路徑覆蓋

↑字面意思：用最少的路徑（不是鏈接兩個節點的邊）覆蓋\(\mathrm{DAG}\)上全部的點（兩條路徑不能通過相同的點）。

魔術球問題

能夠發現，若是把可以組合成徹底平方數的數對連邊，就會造成一個或以上的獨立的\(\mathrm{DAG}\)。

那問題就轉化成了\(\mathrm{DAG}\)上的最小路徑覆蓋。

首先，由於對於一個數，有兩種流量流入：一種是其餘（比它小的）數想要和它組成徹底平方數；另外一種是它本身要和比它大的數組成徹底平方數。

因此咱們要將一個「數」拆成兩個點：一個給比它小的點去連，另外一個給它本身去連別人。

連邊的話，將小數的點的入點連向大數的點的出點（前提是小數和大數的和是徹底平方數），源點連向每一個入點，每一個出點連向匯點。

而後每次加入新數就連上相應的弧（好比將前面可以組成徹底平方數的出點和入點連弧），再在先前的殘量網絡上直接跑最大流，若是最大流沒有增長，說明這個數不能與以前的全部數組成徹底平方數，就把柱子的數量加一便可。

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事實上，通常的最小路徑覆蓋也是差很少和上面同樣的，但若是要你直接輸出最小路徑數的話

就輸出\((N-最大流)\)就能夠了。（這個不難理解吧）

最小點覆蓋 & 最大獨立集

先來一波定義

點覆蓋：G任意邊都至少有一個頂點屬於源點\(s\)的點集\(S\)；

獨立集：G中兩兩互不相連的點集\(S\)。

最小點（權）覆蓋：（點數/點權）最小的點覆蓋；

最大點（權）獨立集：（點數/點權）最大的點獨立集。

最大流=最小割=最小點覆蓋=\(N-最大獨立集\)

上面很容易證：由於是最小割，因此只要把割邊所連上的點刪除，那麼就能用最小的代價把\(s\)和\(t\)隔離開來。

可能還能夠刪掉其它的點（好比說你能夠把和源點\(s\)直接相連的全部點都刪掉，點集\(S\)就是與\(s\)直接相連的全部點），可是這樣都沒有最小割優。

而後，引入了一個點覆蓋，就說明有一對點必須二選一，因此最大獨立集就要\(-1\)，由於點與點之間互不相連。

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若是是普通的最小點覆蓋的話，容量設爲\(1\)便可（固然，中間二分圖的弧的容量仍是\(\infty\)）。

若是是最小點權覆蓋的話，把容量設爲權值便可。

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最後補充一個：二分圖最大權匹配。

按照費用流跑便可（應該要把費用取爲負數再跑）