廣義牛頓二項式定理

普通的牛頓二項式定理在高中學習過的，當乘方爲正整數的時候，可是有些時候須要用到不必定是正整數的狀況（好比生成函數），須要用到分數或者負數等等，因而廣義牛頓二項式定理就出來了。

首先咱們引入牛頓二項式係數${r \choose n}$。

牛頓二項式係數定義:

設r爲實數，n爲整數，引入形式符號

$${r \choose n}=
\begin{cases}
0， & n<0\\
1， & n=0\\
\frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
\end{cases}$$

廣義牛頓二項式定理：

　　　　　　　　　　　　　　　　$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

其中x，y，α爲實數，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$
證實：

證實須要用到數學分析的知識，沒學過的話，應該看不懂2333。

令$z=\frac{x}{y}$則有：

$(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$

設$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，因而有：

$f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$

所以，當z₀=0時，這個函數的泰勒公式（此時應該稱爲麥克勞林展開式）有以下形式：

$(1+z)^{\alpha} =1+\frac{\alpha}{1!}z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$

也就是：

$(1+z)^{\alpha}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+r_n(0;z)$

將餘項使用柯西公式得：

$r_n(0;z)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{\alpha -n}(z-ξ)^{n}z$

其中ξ介於0到z之間.

將餘項變形一下可得:

$r_n(0;z)=\alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})(1+ξ)^{\alpha}(\frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$

由於當$\mid z\mid <1$的時候，從ξ在0和z之間這個條件能夠推出:

$\mid \frac{z-ξ}{1+ξ}\mid =\frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{\mid 1+ξ\mid}\leq \frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{1-\mid ξ\mid}=1-\frac{1-\mid z\mid}{1-\mid ξ\mid}\leq 1-(1-\mid z\mid)=\mid z\mid$

因而$\mid r_n(0;z)\mid \leq\mid \alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})\mid (1+ξ)^{\alpha}\mid z\mid ^{n+1}$

由於$\mid r_{n+1}(0;z)\mid\leq\mid r_n(0;z)\mid \times \mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid$又由於$\mid z\mid <1$，因此，若是$\mid z\mid <q<1$，則無論$\alpha$值如何，對於足夠大的n將有$\mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid <q<1$，這就是說當$n\rightarrow\infty$時，有$r_n(0;z)\rightarrow 0$，由此說明當$\mid z\mid <1$的時候，無窮級數$1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+\cdots (*)$收斂於$(1+z)^{\alpha}$。

這時對於式子$y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$將左邊展開成無窮級數再將$y^\alpha$乘上就獲得了咱們的$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

當$\mid z\mid >1$時，由達朗貝爾比值檢驗法能夠得出，只要$\alpha\notin\mathbb{N}$，級數(*)老是發散的。

特別地，當$\alpha\in\mathbb{N}$時，對函數$f(z)$來講，任意高於n階的導數均爲0，餘項爲0，直接展開就完事了，展開獲得的就是高中學過的二項式定理。

參考資料卓裏奇的《數學分析》與屈婉玲《離散數學》