後綴數組(SA)總結

後綴數組(SA)總結

這個東西鴿了很久了，今天補一下

概念

後綴數組\(SA\)是什麼東西？

它是記錄一個字符串每一個後綴的字典序的數組

\(sa[i]\):表示排名爲\(i\)的後綴是哪個。

\(rnk[i]\):能夠理解爲\(SA\)數組的逆，記錄後綴\(i\)的排名是多少，\(rnk[SA[i]]=i\)。

\(lcp[i]\):別人通常叫\(height\)，表示後綴\(SA[i]\)與\(SA[i-1]\)的最長公共前綴的長度。

後綴排序

求出後綴數組的算法，模板題

代碼

先上代碼，便於理解

#define cmp(i, j, k) (y[i] == y[j] && y[i + k] == y[j + k])
void Get_SA() {
    static int x[MAX_N], y[MAX_N], bln[MAX_N];
    int M = 122; 
    for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[i] = a[i]]++; 
    for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1]; 
    for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[i]]--] = i; 
    for (int k = 1; k <= N; k <<= 1) { 
        int p = 0; 
        for (int i = 0; i <= M; i++) y[i] = 0; 
        for (int i = N - k + 1; i <= N; i++) y[++p] = i; 
        for (int i = 1; i <= N; i++) if (sa[i] > k) y[++p] = sa[i] - k;
        for (int i = 0; i <= M; i++) bln[i] = 0; 
        for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[y[i]]]++; 
        for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1]; 
        for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[y[i]]]--] = y[i]; 
        swap(x, y); x[sa[1]] = p = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) x[sa[i]] = cmp(sa[i], sa[i - 1], k) ? p : ++p;
        if (p >= N) break;
        M = p; 
    } 
}

算法流程

求\(sa\)的算法有倍增法和\(DC3\)，由於後者有碼量大、常數大、我不會等種種缺點，

這裏只介紹倍增算法。

咱們若是對於每一個倍增完的二元組，每一個都\(sort\)一下，複雜度是\(O(nlog^2)\)的。

那麼將基數排序應用到其中去，就能夠作到\(O(nlogn)\)，具體作法：

咱們考慮一下普通的基數排序是怎麼排二元組

先將第二位丟進桶裏，而後按照第一維的次序取出。

那麼這個字符串怎麼排呢？

首先當\(k=0\)時，咱們直接桶排一下就好了。

可是咱們還要接着排啊，

還記得吧，基排序是先按照第二維從小往大排

那麼，咱們就先把第二維的順序搞出來

首先最小的必定就是沒有第二維的東西

因此咱們先把這些數直接丟進數組裏面

接下來就是有第二維的東西啦

第\(i\)位的第二維是啥？\(rnk[i+k]\)

因此，從小到達枚舉\(sa\)，這樣保證第二維從小往大

那麼，只要\(sa[i]>k\)

就證實它是一個東西的第二維

因此，把\(sa[i]−k\)

丟到數組裏面去就好啦

這樣的話，按照第二維就排好啦

再來依次按照第一維丟到桶裏面去

作一遍基數排序就好啦

這樣就可以求出\(sa\)啦

看起來很簡單誒。。

只是數組不要搞混了

必定搞清楚每一個數組是幹啥的

好比個人代碼

\(sa\)是後綴數組，\(sa[i]\)表示排名爲i的串是哪個

\(rnk[i]\)至關於排名，\(rnk[i]\)表示第i個串的排名

\(x,y\)兩個數組是記錄順序的

分別記錄第一維和第二維的排序的順序

\(bln\)是桶。

若是實在理解不了，就背吧，反正也沒有多長

那麼\(lcp\)數組怎麼求呢？

取\(\forall i<j\),不妨設\(rnk[j]<rnk[k]\),那麼以\(j\)開頭的後綴和\(k\)開頭的後綴的最長公共前綴就是\(\min _{i=rnk[j]+1}^{rnk[k]} lcp[i]\)。

有一個引理：

定義\(h[i]=lcp[rnk[i]]\)，那麼，\(h[i]\geq h[i-1]-1\)

證實：設\(s[k...]\)爲排在\(s[i-1...]\)的前一名的後綴，其最長公共前綴爲\(h[i-1]\),則\(s[k+1...]\)與\(s[i...]\)的最長公共前綴顯然大於等於\(h[i-1]-1\)，原結論得證。

而後這樣求就能夠了：

for (int i = 1; i <= N; i++) rnk[sa[i]] = i; 
    for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) { 
        if (j) j--; 
        while (a[i + j] == a[sa[rnk[i] - 1] + j]) ++j; 
        lcp[rnk[i]] = j; 
    }

一些trick

總結蒯了一些食用SA時的\(trick\)：

1、對於可重複的最長重複子串問題（若子串\(s\)重複出現次數大於等於二，則稱重複子串）\(Ans=\max_{i=1}^nlcp_i\)。

2、對於不可重疊的最長重複子串問題，二分，將問題轉化爲是否有兩個長度爲\(k\)的子串是相同的，且不重疊。將\(lcp\)數組分組，最長公共前綴不小於\(k\)的爲一組其中若是有一組\(sa[i]\)之差大於\(k\)時，則成
立。

3、對於可重疊的重複\(k\)次最長重複子串，與上一種方法思路類似，二分，問題轉化爲判斷是否存在\(k\)個長度爲\(l\)的子串是相同的，將最長公共子串大於\(l\)的後綴分爲一組，查看每一組內後綴個數是否大於\(k\)。

4、對於多個字符串的問題，一般用一個原串中不會出現的字符將兩個字符串鏈接爲一個。對於最長公共子串問題，首先將兩個字符串用一個未出現過的字符鏈接起來，而後求出它們的最長公共前綴，解時注意判斷是否在間隔符兩邊。

5、求取長度不小於\(k\)的公共子串個數時，將兩個字符串按照上述方法鏈接，中間用一個不曾出現過的字符隔開，計算全部後綴之間最長公共前綴的長度，用單調棧維護最長公共前綴的長度。

6、對於在多個字符串中，出現不小於\(k\)個字符串的最長公共子串。按照上述方法鏈接多個字符串後，使用二分法。對於給定的長度，先分組，判斷每組字符串後綴是否出如今不一樣的\(k\)個字符串中。

7、對於在每一個字符串中至少出現兩次且不重疊的最長公共子串時，按照上述方法鏈接多個字符串，使用二分法。對於給定的長度，先分組，判斷是否有一組包含每一個字符串中的兩個不重疊答案。

一些後話

我還不太熟悉，題目暫未整理出來。

之後會提供每一個\(trick\)的例題及一些題單。

若有錯漏之處，請聯繫做者。

參考文章：
yyb的博客 http://www.javashuo.com/article/p-tfxihtst-bo.html 清華大學出版社《ACM/ICPC算法基礎訓練教程》第8章