淺談 Miller-Robbin 與 Pollard Rho

時間  2019-11-12
標籤 淺談 miller robbin pollard rho 简体版
原文   原文鏈接

前言

$Miller-Robbin$ 與 $Pollard Rho$ 雖然都是隨機算法，不過用起來是真的爽。html

$Miller Rabin$ 算法是一種高效的質數判斷方法。雖然是一種不肯定的質數判斷法，可是在選擇多種底數的狀況下，正確率是能夠接受的。算法

$Pollard Rho$ 是一個很是玄學的方式，用於在 $O(n^{1/4})$ 的指望時間複雜度內計算合數$n$的某個非平凡因子。優化

事實上算法導論給出的是 $O(\sqrt p)$ ， $p$ 是 $n$ 的某個最小因子，知足 $p$ 與 $\frac{n}{p}$ 互質。ui

可是這些都是指望，未必符合實際。但事實上 $Pollard Rho$ 算法在實際環境中運行的至關不錯。spa

注：以上摘自洛谷。code

Miller-Robbin

前置芝士

1. 費馬小定理htm

  • 內容：若 \(\varphi(p)=p-1,\,p>1\)，則\(a^{p}\equiv a\pmod{p}\) 或 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p},\,(a<p)\)blog

  • 證實：戳這裏遞歸

2. 二次探測定理get

  • 內容：若是 \(\varphi(p)=p-1,\,p>1,\,p>X\) ，且\(X^2\equiv 1\pmod{p}\)，那麼\(X=1\ or\ p-1\)

  • 證實：

    \(\because\) \(X^2\equiv 1\pmod{p}\)

    \(\therefore\) \(p|X^2-1\)

    \(\therefore\) \(p|(X+1)(X-1)\)

    \(\because\) \(p\)是大於\(X\)的質數

    \(\therefore\) \(p=X+1\ or\ p\equiv X-1\pmod{p}\)，即\(X=1\ or\ p-1\)。

算法原理

由費馬小定理，咱們能夠有一個大膽的想法：知足 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\) 的數字 \(p\) 是一個質數。

惋惜，這樣的猜測是錯誤的，能夠舉出大量反例，如：\(2^{340}\equiv 1\pmod{341}\)，然鵝 \(341=31*11\) 。

因此，咱們能夠取不一樣的 \(a\) 多驗證幾回，不過，\(\forall a<561,\,a^{560}\equiv 1\pmod{561}\)，然鵝 \(561=51*11\) 。

這時，二次探測就有很大的用途了。結合費馬小定理，正確率就至關高了。

這裏推薦幾個 \(a_i\) 的值： \(2，3，5，7，11，61，13，17\)。用了這幾個 \(a_i\)，就連那個被稱爲強僞素數的 \(46856248255981\) 都能被除去。

主要步驟

  • .將 \(p-1\) 提取出全部 \(2\) 的因數，假設有\(s\) 個。設剩下的部分爲 \(d\)（這裏提取全部\(2\)的因數，是爲了下面應用二次探測定理） 。

  • 枚舉一個底數 \(a_i\) 並計算 \(x=a_i^{d}\pmod p\)。

  • 令 \(y=x^{2}\pmod p\)，若是沒有出現過 \(p-1\)，那麼 \(p\) 未經過二次探測，不是質數。

  • 不然，若底數已經足夠，則跳出；不然回到第二步。

簡易代碼

#define ll long long
ll p,a[]={2,3,5,7,11,61,13,17};
inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=0;
    for(ll i=b;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=(ans+a)%p;
        a=(a<<1)%p;
    }
    return ans%p;
}
inline ll Pow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    for(ll i=b;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=mul(ans,a,p);
        a=mul(a,a,p);
    }
    return ans%p;
}
bool Miller_Robbin(ll p)
{
    if(p==2) return true;
    if(p==1 || !(p%2)) return false;
    ll d=p-1;int s=0;
    while(!(d&1)) d>>=1,++s;
    for(int i=0;i<=8 && a[i]<p;++i)
    {
        ll x=Pow(a[i],d,p),y=0;
        for(int j=0;j<s;++j)
        {
            y=mul(x,x,p);
            if(y==1 && x!=1 && x!=(p-1)) return false;
            x=y;
        }
        if(y!=1) return false;
    }
    return true;
}

Pollard Rho

大體流程

  • 先判斷當前數是不是素數（這裏就可應用 \(Miller-Robbin\) ），若是是則直接返回

  • 若是不是素數的話，試圖找到當前數的一個因子（能夠不是質因子）

  • 遞歸對該因子和約去這個因子的另外一個因子進行分解

如何找因子

一個一個試確定是不行的。而這個算法的發明者採起了一種清奇的思路。（即採起隨機化算法）

  • 咱們假設要找的因子爲p

  • 隨機取一個 \(x、y\)，不斷調整 \(x\) ，具體的辦法一般是 \(x=x*x+c\)（c是隨機的，也能夠本身定）。

  • 取 \(p=gcd(y-x,n)\) ，若\(p \in \left(1,n\right)\) ，則找到了一個因子，就返回。

  • 若是出現 \(x=y\) 的循環，就說明出現了循環，並不斷在這個環上生成之前生成過一次的數，因此咱們必須寫點東西來判環：咱們能夠用倍增的思想，讓\(y\)記住\(x\)的位置，而後\(x\)再跑當前跑過次數的一倍的次數。這樣不斷讓\(y\)記住\(x\)的位置，x再往下跑，由於倍增因此當\(x\)跑到\(y\)時，已經跑完一個圈。

  • 同時最開始設定兩個執行次數\(i=一、k=2\)（即倍增的時候用） ，每次取 \(gcd\) 時 \(++i\) ；若是 \(i==k\) ，則令 \(y=x\) ，並將 \(k\) 翻倍。

完整代碼

#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rg register int
#define V inline void
#define I inline int
#define db double
#define B inline bool
#define ll long long
#define F1(i,a,b) for(rg i=a;i<=b;++i)
#define F3(i,a,b,c) for(rg i=a;i<=b;i+=c)
#define ed putchar('\n')
#define bl putchar(' ')
template<typename TP>V read(TP &x)
{
    TP f=1;x=0;register char c=getchar();
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
    x*=f;
}
template<typename TP>V print(TP x)
{
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int T;
ll n,ans;
ll a[]={2,3,5,7,11,61,13,17,24251};
template<typename TP>inline ll Gcd(TP a,TP b) {return !b?a:Gcd(b,a%b);}
template<typename TP>inline ll mul(TP a,TP b,TP p)
{
    ll ans=0;
    for(TP i=b;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=(ans+a)%p;
        a=(a<<1)%p;
    }
    return ans%p;
}
template<typename TP>inline ll Pow(TP a,TP b,TP p)
{
    ll ans=1;
    for(TP i=b;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=mul(ans,a,p);
        a=mul(a,a,p);
    }
    return ans%p;
}
B Miller_Robbin(ll n)
{
    if(n<2) return false;
    if(n==2) return true;
    if(n%2==0) return false;
    ll d=n-1;int s=0;
    while(!(d&1)) d>>=1,++s;
    for(rg i=0;i<=8 && a[i]<n;++i)
    {
        ll x=Pow(a[i],d,n),y=0;
        F1(j,0,s-1)
        {
            y=mul(x,x,n);
            if(y==1 && x!=1 && x!=(n-1)) return false;
            x=y;
        }
        if(y!=1) return false;
    }
    return true;
}
inline ll Pollard_Rho(ll n)
{
    ll x,y,c,i,k;
    while(true)
    {
        ll x=rand()%(n-2)+1;
        ll y=rand()%(n-2)+1;
        ll c=rand()%(n-2)+1;
        i=0,k=1;
        while(++i)
        {
            x=(mul(x,x,n)+c)%n;
            if(x==y) break;
            ll d=Gcd(abs(y-x),n);
            if(d>1) return d;
            if(i==k) {y=x;k<<=1;}
        }
    }
}
V Find(ll n)
{
    if(n==1) return;
    if(Miller_Robbin(n)) {ans=max(ans,n);return;}
    ll p=n;
    while(n<=p) p=Pollard_Rho(p);
    Find(p);Find(n/p);
}
int main()
{
    read(T);srand(time(0));
    while(T--)
    {
        ans=0;
        read(n);Find(n);
        if(ans==n) puts("Prime");
        else print(ans),ed;
    }
    return 0;
}

emmmm \(\cdots\)


這數據也太毒瘤了吧！！


看來要瘋狂卡常了

優化1（不如叫作卡常？）

蛋定的分析一波，咱們發現除了 $Pollard-Rho$ 是 $O(n^{1/4})$ 的指望時間複雜度外， $gcd$ 和龜速乘都是 $O(\log N)$ 的。

雖然這種複雜度已經很優秀了，可對於本題的數據（\(T≤350\) 、 \(1≤n≤10^{18}\)），仍是太 \(\cdots\)

因此咱們要果斷摒棄這種很 $low$ 的龜速乘，改用一種暴力溢出的快速乘：

  • 簡單原理： \(a \times b \ \ mod \ \ p=a \times b−\left \lfloor \frac{a \times b}{p} \right \rfloor\)

  • 用 long double 來處理這個 \(\left \lfloor \frac{a \times b}{p} \right \rfloor\)

  • 而後處理一下浮點偏差就能夠了。

  • 模數較大時可能會出鍋。

  • 不過出鍋機率很小 \(\cdots\)

以下

inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
    a%=mod,b%=mod;
    ll c=(long double)a*b/mod;
    ll ret=a*b-c*mod;
    if(ret<0) ret+=mod;
    else if(ret>=mod) ret-=mod;
    return ret;
}

實踐證實，戰果輝煌：$6pts -> 94pts$ ！！！

優化2（正解）

雖然關於龜速乘的 $O(\log n)$ 的惡劣影響獲得了必定遏制，不過，我仍是好想 $AC$ 啊！

經過辦法1 ：打表 \(\cdots\)

正確 $AC$ 姿式以下：

  • 咱們發如今 \(Pollard-Rho\) 中若是長時間隨機化而得不到結果，\(gcd\)帶來的 \(O(\log n)\) 仍是很傷腎的！！那有沒有辦法優化呢？答案是確定的。

  • 在生成\(x\)的操做中，龜速乘所模的數就是\(n\)，而要求的就是\(n\)的某一個約數，即如今的模數並非一個質數。

  • 根據取模的性質：若是模數和被模的數都含有一個公約數，那麼此次模運算的結果必然也會是這個公約數的倍數。因此若是咱們將若干個\((y−x)\) 相乘，由於模數是 \(n\) ，因此若是若干個\((y−x)\)中有一個與\(n\)有公約數，最後的結果定然也會含有這個公約數。

  • 因此能夠多算幾回\((y−x)\)的乘積再來求\(gcd\) （通常連續算\(127\)次再求一次\(gcd\)）。

  • 不過\(\cdots\)，若是在不斷嘗試\(x\)的值時碰上一個環，就可能會還沒算到\(127\)次就跳出這個環了，就沒法得出答案；同時，可能\(127\)次計算以後，全部\((y−x)\)的乘積都變成了\(n\)的倍數（即\(\prod_{i=1}^{127} {(y-x)} \equiv 0 \pmod{n}\) ）

  • 因此咱們能夠不只在每計算\(127\)次以後求\(gcd\)、還要在倍增時（即判環時）求\(gcd\)，這樣既維護了其正確性，又判了環！！

  • 完整\(AC\)代碼：

#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rg register int
#define V inline void
#define I inline int
#define db double
#define B inline bool
#define ll long long
#define F1(i,a,b) for(rg i=a;i<=b;++i)
#define F3(i,a,b,c) for(rg i=a;i<=b;i+=c)
#define ed putchar('\n')
#define bl putchar(' ')
template<typename TP>V read(TP &x)
{
    TP f=1;x=0;register char c=getchar();
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
    x*=f;
}
template<typename TP>V print(TP x)
{
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int T;
ll n,ans;
ll a[]={2,3,5,7,11,61,13,17};
template<typename TP>inline ll Gcd(TP a,TP b) {return !b?a:Gcd(b,a%b);}
inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
    a%=mod,b%=mod;
    ll c=(long double)a*b/mod;
    ll ret=a*b-c*mod;
    if(ret<0) ret+=mod;
    else if(ret>=mod) ret-=mod;
    return ret;
}
template<typename TP>inline ll Pow(TP a,TP b,TP p)
{
    ll ans=1;
    for(TP i=b;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=mul(ans,a,p);
        a=mul(a,a,p);
    }
    return ans%p;
}
B Miller_Robbin(ll n)
{
    if(n<2) return false;
    if(n==2) return true;
    if(n%2==0) return false;
    ll d=n-1;int s=0;
    while(!(d&1)) d>>=1,++s;
    for(rg i=0;i<=8 && a[i]<n;++i)
    {
        ll x=Pow(a[i],d,n),y=0;
        F1(j,0,s-1)
        {
            y=mul(x,x,n);
            if(y==1 && x!=1 && x!=(n-1)) return false;
            x=y;
        }
        if(y!=1) return false;
    }
    return true;
}
inline ll Pollard_Rho(ll n)
{
    while(true)
    {
        ll x=rand()%(n-2)+1;
        ll y=rand()%(n-2)+1;
        ll c=rand()%(n-2)+1;
        ll i=0,k=1,b=1;
        while(++i)
        {
            x=(mul(x,x,n)+c)%n;
            b=mul(b,abs(y-x),n);
            if(x==y || !b) break;
            if(!(i%127) || i==k)
            {
                ll d=Gcd(b,n);
                if(d>1) return d;
                if(i==k) y=x,k<<=1;
            }
        }
    }
}
V Find(ll n)
{
    if(n<=ans) return;
    if(Miller_Robbin(n)) {ans=max(ans,n);return;}
    ll p=Pollard_Rho(n);
    while(n%p==0) n/=p;
    Find(p),Find(n);
}
int main()
{
    read(T);srand(time(0));
    while(T--)
    {
        ans=0;
        read(n);Find(n);
        if(ans==n) puts("Prime");
        else print(ans),ed;
    }
    return 0;
}
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