從零開始的伯努利數

伯努利數的坑太多了，目前正全力整合

伯努利數

一般狀況下指第一類伯努利數\(B^-\)，遞推式爲

\[ B_0=1,\sum_{i=0}^n\pmatrix{n+1\\i}B_i=0(n\ge1) \]

其前若干項爲\(0,-\frac12,\frac16,0,-\frac1{30},0,\cdots\)，發現對大於1的奇數\(n\)伯努利數\(B_n=0\)。

與第二類伯努利數\(B^+\)的差異在於\(B_1^+=\frac12\)，或者說\(B^+_i=(-1)^iB^-_i\)，暫不研究。

伯努利數的生成函數

伯努利數\(B\)的指數生成函數
\[ F_B(x)=\sum_{i=0}\frac{B_i}{i!}x^i=\frac{x}{e^x-1} \]
能夠以以下方式推導
\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1}\pmatrix{n\\i}B_i&=0(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\pmatrix{n\\i}B_i&=B_n(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}&=\frac{B_n}{n!}(n\ge2)\\ \sum_{n=2}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n+(\frac{1}{1!}\frac{B_0}{0!}+\frac{1}{0!}\frac{B_1}{1!})x^1+\frac{1}{0!}\frac{B_0}{0!}x^0\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n+x^1\\ F_B(x)\times e^x&=F_B(x)+x\Rightarrow F_B(x)=\frac{x}{e^x-1} \end{aligned} \]
這明面上給出了一個求出伯努利數列\(B\)的前\(n\)項的多項式作法。

伯努利多項式

定義等冪和函數
\[ S_m(n)=\sum_{i=1}^ni^m=\sum_{i=0}^ni^m,m>0 \]
它的多項式表達，即伯努利多項式爲
\[ S_m(n)=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\pmatrix{m+1\\i}B^+_in^{m+1-i} \]
這與如下等式等價
\[ \sum_{i=0}^{n-1}i^m=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\pmatrix{m+1\\i}B^-_in^{m+1-i} \]

考慮證實這個等式，能夠參考Shadowass的博客，略長，且該文給出相關定義有不一樣，須留意。

也能夠這樣證實