[斯坦福大學2014機器學習教程筆記]第四章-多元線性迴歸的多特徵量狀況下的假設形式

    在這節中，咱們將開始討論一種新的線性迴歸的版本。這是一種更爲有效的形式，這種形式適用於多個變量或者多特徵量的狀況。

    在咱們以前的學習中，咱們只有一個單一特徵變量x（以下面例子中的房屋面積），咱們但願用這個特徵量來預測y（以下面例子中的房屋價格）。咱們的假設就爲h_θ(x)=θ₀+θ₁x。

    可是，咱們在不少時候咱們不只有房屋面積這一個特徵來預測房屋價格，咱們還會有臥室的數量、樓層的數量和房子的年齡多個特徵來預測房屋價格。

    咱們用變量x₁、x₂、x₃、x₄來表示這裏的四個特徵，用y來表示預測的輸出變量。

• 咱們用n來表示特徵量的數目，如這裏的n=4。
• 咱們用m來表示樣本的數量。
• 咱們用x⁽ⁱ⁾表示第i個訓練樣本的輸入特徵量。舉個例子，這個例子中x⁽²⁾表示第2個訓練樣本的特徵向量，因此x⁽²⁾表示的就是向量[1416,3,2,40]（列向量）。在這個表示方法中，2至關於一個訓練集的一個索引。
• 咱們用x^_j(i)來表示第i個訓練樣本中第j個特徵量的值。這個例子中x₃⁽²⁾表示第2個訓練樣本的特徵向量裏面的第3個特徵值，因此它的值爲2。

    既然咱們有了多個特徵量，那咱們的假設形式應該寫成什麼樣呢？

• 咱們以前的假設形式爲：h_θ(x)=θ₀+θ₁x。
• 如今咱們的假設形式爲：h_θ(x)=θ₀+θ₁x₁+θ₂x₂+θ₃x₃+θ₄x₄。假如咱們有n個特徵量，那麼假設形式就爲：h_θ(x)=θ₀+θ₁x₁+θ₂x₂+θ₃x₃+……+θ_nx_n。

    接下來，咱們要簡化上面寫出的表達方式。爲了分別咱們設x₀=1（這意味着對於第i個樣本都有x₀⁽ⁱ⁾=1）。固然你也能夠認爲咱們定義了一個額外的第0個特徵量。在此以前咱們有n個特徵量（x₁，x₂，……x_n），因爲咱們另外定義了一個第0特徵量，而且取值恆爲1，因此如今有n+1個特徵量。因此咱們如今的特徵向量X=[x₀，x₁，x₂，……x_n]（列向量），這是一個n+1維的向量。同時咱們還能夠把全部的參數寫成一個向量，θ=[θ₀，θ₁，θ₂，……θ_n]（列向量），這也是一個n+1維的向量。

•     這時咱們的假設形式能夠寫成：h_θ(x)=θ₀x₀+θ₁x₁+θ₂x₂+θ₃x₃+……+θ_nx_n。

     更巧妙的是，咱們能夠將這個式子寫成θ^TX（θ的轉置乘以X）。