算法設計與分析複習——第一章：算法引論

 

第一章：算法引論

1，什麼是算法？算法有哪些基本特徵？請指出算法同程序的相同點與不一樣點。

         答：算法是解決問題的方法或過程，是知足如下四個性質的指令序列

1）輸入：有 0 個以上的輸入                               2）輸出：至少有 1 個輸出

3）肯定性：指令清晰、無歧義                            4）有限性：指令執行次數有限，時間有限

5）可行性：

        算法和程序的相同點：二者都具備輸入、輸出和肯定性的特徵 不一樣點：程序是算法用某種程序語言的具體實現，程序不知足算法具備的有限性性質 請描述算法設計的通常過程。

2，請描述算法設計的通常過程。

答：算法設計的通常過程是 1）提出問題 2）肯定數學模型 3）明確目的、條件和約束關係 4）設計求解步驟 5）結果評估與分析 若是在第 5 步的分析中對算法時間、空間複雜度或結果不滿意，能夠返回第 1 步或第 4 步進一步迭代，直至找到滿意的算法。

3，什麼是算法複雜性？它主要有哪兩個方面構成？

         答：算法複雜性是算法運行時所須要的計算機資源的量，它包括兩個方面：時間複雜性（需 要時間資源的量）和空間複雜性（須要空間資源的量） 。

4，時間複雜性分析主要分哪三種狀況，哪一種狀況的可操做性最好，最具備實際價值？

         答：時間複雜性分爲 3 種狀況，最好狀況、平均狀況、最壞狀況，可操做性最好，最具備實 際價值的是最壞狀況下的時間複雜性。

         最壞狀況時間複雜性是規模爲n的全部輸入中，基本運算執行次數爲最多的時間複雜性。

   平均狀況時間複雜性是規模爲n的全部輸入的算法時間複雜度的平均值 （通常均假設每種輸入狀況以等機率出現）。

5，表示漸進時間複雜性的三個記號的具體定義是什麼？

答：1. T(n)= O(f(n))：若存在c > 0，和正整數n0≥1，使得當n≥n0時， 總有 T(n)≤c*f(n)。 （給出了算法時間複雜度的上界，不可能比c*f(n)更大）

       2. T(n)=Ω(f(n))：若存在c > 0，和正整數n0≥1，使得當n≥n0時， 存在無窮多個n ，使得T(n)≥c*f(n)成立。（給出了算法時間複雜度的下界，複雜度不可能比c*f(n)更小）

       3. T(n)= Θ(f(n))：若存在c1,c2>0，和正整數n0≥1，使得當n≥n0時， 總有 T(n)≤c1*f(n)，且有無窮多個n，使得T(n)≥c2*f(n)成立， 即：T(n)= O(f(n))與T(n)=Ω(f(n))都成立。（既給出了算法時間複雜度的上界，也給出了下界）。

 

6，算法研究有哪幾個主要步驟？主要從哪幾個方面評價算法？

答：算法研究的主要步驟是1)設計2）表示 3）確認，合法輸入和不合法輸入的處理 4）分析 5）測試。

評價算法的標準有1）正確性 2）健壯性 3）簡單性 4）高效性 5）最優性

 

7，各類增加函數的含義。

         答：

        

數學表達式	相對增加率
T(N)=O(g(N))	T(N)的增加 ≤ g(N)的增加
T(N)=Ω(g(N))	T(N)的增加 ≥ g(N)的增加
T(N)=θ(g(N))	T(N)的增加 ＝ g(N)的增加
T(N)=o(g(N))	T(N)的增加 ＜ g(N)的增加

O(1)<O(log_n)<O(n)<O(nlog_n)<O(n²)<O(n³)<O(aⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)。

例題：

1，

2，

 

3，

 

4，

 

5，

 

6，若是算法A由三個步驟組成，其中第一步的時間複雜性爲O(n²)，第二步的時間複雜性爲O(nlogn)，第三步的時間複雜性爲O(n)，請問算法A的時間複雜性是多少？

答：O(n²)

7, 解決某問題有三種算法，複雜性分別爲1000N，10N2， 2N ，在一臺機器上可處理問題的規模分別爲S1 ， S2 ， S3 。若機器速度提升到原來的10倍，問在一樣時間內可處理問題的大小如何？

         答：

複雜性       原來處理問題規模      速度提升之後    

 1000N            S1                    10S1

  10N²            S2                   3.16S2

   2^N             S3               S3 +log10≈ S3 +3.32

8，問題P的算法複雜度爲T(n)=n3（毫秒），現改善爲T(n)=n2（毫秒）。問原來運行一小時的問題實例，如今要運行多少時間？

答：

設實例大小爲n，

        則 n3=3600*1000

        n=153.3

       ∴ 如今須要時間t=153.32毫秒≈ 23.5秒

 

9，

1），f(n) = 2n + 3 = O(n)

當n≥3時，2n+3≤3n，因此，可選c = 3，n0 = 3。對於n≥n0，f(n) = 2n + 3≤3n，因此，f(n) = O(n)，即2n + 3O(n)。這意味着，當n≥3時，程序2-1的程序步不會超過3n，2n + 3 = O(n)。

 

2），f(n) = 10n2 + 4n + 2 = O(n2)

對於n≥2時，有10n2 + 4n + 2≤10n2 + 5n，而且當n≥5時，5n≤n2，所以，可選c = 11, n0 = 5；對於n≥n0，f(n) = 10n2 + 4n + 2≤11n2，因此f(n) = O(n2)。

3），10n2 + 9  O(n)

使用反證法，假定存在c和n0，使得對於n≥n0，10n2 + 9≤cn始終成立，那麼有10n + 9/n≤c，即n≤c/10  9/(10n)總成立。但此不等式不可能總成立，取n = c/10 + 1時，該不等式便再也不成立。